Словарная метрика на группе

В теории групп (разделе математики), словарная метрика — способ задавать расстояния на конечно-порождённой группе. Если выбрана и зафиксирована система образующих $F$, то расстояние между элементами $g$ и $h$ это наименьшее число образующих и обратных к ним, в произведение которых раскладывается частное $g^{-1}h$. Эта метрика инвариантна относительно умножения слева на элементы группы, и совпадает с расстоянием в графе Кэли. При этом для неабелевых групп она, вообще говоря, не инвариантна относительно умножения на элементы группы справа.

Словарная метрика не сохраняется при замене системы образующих, однако она изменяется квазиизометрично (или, что то же самое, би-липшицевым образом): для некоторых констант C₁, C₂ имеет место

$\forall g,h \in G \quad \frac{1}{C_1} d_2(g,h) \le d_1 (g,h) \le C_2 d_2(g,h).$

В частности, это позволяет применять с помощью словарной метрики к группе геометрические понятия, сохраняющиеся при квазиизометрии: говорить о скорости роста группы (полиномиальном/экспоненциальном/промежуточном), о её гиперболичности.