Лемма Фату

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

Формулировки из функционального анализа

Пусть фиксировано пространство с мерой $(X,\mathcal{F},\mu)$. Далее, пусть $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ — последовательность неотрицательных^[1] измеримых функций на $X$. Тогда справедливо следующее неравенство для нижних пределов

$\int\limits_X {\liminf_{n \to \infty}} f_n(x)\, \mu(dx) \le {\liminf_{n \to \infty}} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx)$.

Обратите внимание: в формуле функции могут достигать бесконечности, их интегралы тоже могут быть бесконечными.

---

Если, кроме того, $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ — суммируемы, имеют предел $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ почти всюду и имеют ограниченные в совокупности интегралы

$\int\limits_X f_n(x)\mu(dx)\leq K,\forall n$,

$K$ — некоторое фиксированное число, тогда $f(x)$ — суммируема и справедливо неравенство:

$\int\limits_X f(x)\mu(dx)\leq K$

Формулировка из теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $\Omega$, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть неотрицательная последовательность интегрируемых случайных величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$. Тогда выполняется следующее неравенство для нижних пределов

$\mathbb{E}\left[{\liminf\limits_{n\to \infty}}X_n\right] \le {\liminf\limits_{n\to \infty}} \,\mathbb{E} X_n.$

См. также

• Теорема Леви о монотонной сходимости;
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.

Примечания

1. ↑ Если $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ обладает более слабым условием — ограниченностью снизу какой-либо суммируемой функцией: $f_n(x)\geq f(x)\, , n=1,2,\ldots$, то теорему можно применить к последовательности $f_n-f$

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.