Нильпотентный идеал

Нильпотентный идеал — односторонний или двусторонний идеал $M$ кольца такой, что для некоторого натурального $n$ выполняется $M^n=\{0\}$, то есть произведение любых $n$ элементов идеала $M$ равно нулю.

Примеры

• В кольце $\Z_{p^n}$ вычетов по модулю $p^n$, где $p$ — некоторое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны.
• В кольце верхнетреугольных матриц над некоторым полем матрицы, у которых на главной диагонали стоят нули, образуют нильпотентный идеал.

Свойства

• Любой элемент нильпотентного идеала нильпотентен.
• Любой нильпотентный идеал является одновременно нильидеалом и содержится в радикале Джекобсона кольца.
• В артиновых кольцах радикал Джекобсона нильпотентен, и понятия нильпотентного идеала и нильидеала совпадают. Последнее свойство справедливо и для нётеровых колец. В нётеровом слева кольце любой левый (правый) нильидеал нильпотентен.
• Все нильпотентные идеалы коммутативного кольца содержатся в нильрадикале, который в общем случае может быть не нильпотентным, а лишь нильидеалом. Простой пример такой ситуации доставляет прямая сумма колец $\Z_{p^n}$ по всем натуральным $n$.
• В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент $a$ содержится в некотором нильпотентном идеале, например, в главном идеале, порожденном a.
  • В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, которые не содержатся ни в одном нильпотентном идеале (и даже нильидеале). Например, в полном кольце матриц над полем имеются нильпотентные элементы, у которых ненулевые элементы стоят только над главной диагональю, но это кольцо просто и, следовательно, не имеет ненулевых нильпотентных идеалов.
• В конечномерной алгебре Ли $g$ существует максимальный нильпотентный идеал, состоящий из элементов $x\in g$, для которых эндоморфизм $y\to[x,y]$ для $y\in g$ нильпотентен.

Литература

• Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
• Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961;
• Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1, М., 1977;
• Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972;
• Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1978.