Фонон

Нормальные моды колебаний в кристалле. Амплитуда колебаний была увеличена для удобства просмотра; в реальном кристалле, она обычно существенно меньше межатомного расстояния.

Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом. Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов кристалла.

Необходимость использования квазичастиц

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Спин фонона равен нулю (в единицах $\hbar$). Фонон принадлежит к числу бозонов и описывается статистикой Бозе-Эйнштейна. Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твердых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причем наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.

Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке

В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы $m \$, равновесные положения которых определяются вектором решетки:

$\mathbf{n}=n\mathbf{a}, \$

где $n=1,2,...,N \$. Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть $\xi_n \$ - одно из таких смещений атома, занимающего узел $n \$. В потенциальной энергии $U \$ смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия будет:

$U=\frac{1}{2}\gamma \sum_{n=1}^N (\xi_n-\xi_{n-a})^2 \$

Кинетическая энергия выражается через скорости смещений $\dot{\xi_n} \$ с помсощью функции:

$K=\frac{1}{2}m\sum_{n=1}^N \dot{\xi_n}^2 \$.

Введем циклические условия:

$\xi_n=\xi_{n+Na} \$.

Одномерной решетке соответствует зона Бриллюэна в $\mathbf{k} \$- пространстве с границами:

$-\pi \le \mathbf{k}a<\pi \$.

Внутри этой зоны располагаются $N \$ неэквивалентных волновых векторов:

$\mathbf{k}=\frac{2\pi \mu}{Na^2} \mathbf{a}, \$

где $\mu=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm\frac{N}{2} \$. От смещений отдельных атомов $\xi_n \$ удобно перейти к новым обобщенным координатам $A_k \$, которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определенным значениям $\mathbf{k} \$. Для этого введем преобразование:

$\xi_n=N^{-1/2}\sum_{k=1} A_k exp (i\mathbf{k}\mathbf{n}). \$

Новые переменные должны удовлетворять условию:

$A_k=A_{-k}^* \$.

Таким образом, потенциальная

$U=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \Omega^2(\mathbf{k})A_kA_{-k} \$

и кинетическая энергия

$K=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \dot{A_k}\dot{A_{-k}} \$,

где

$m\Omega^2(\mathbf{k})=m\Omega^2(\mathbf{-k})=4\gamma sin^2\frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2} \$

выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:

$\Omega(\mathbf{k})=\Omega(\mathbf{-k})=2\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|sin \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \$

Зная частоту фононов как функцию $\mathbf{k} \$, можно вычислить фазовую $V_f \$ и групповую $V_g \$ скорости соответствующих элементарных возбуждений:

$V_f=\frac{\Omega(\mathbf{k})}{k}=\frac{2}{k}\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|sin \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \$

$V_g=\frac{d\Omega(\mathbf{k})}{dk}=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|cos \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \$

Акустические фононы

Длинноволновые возбуждения при $ka=\frac{2\pi a}{\lambda} \ll 1 \$ характеризуются величинами:

$\Omega(\mathbf{k})=ka\sqrt{\frac{\gamma}{m}}=kV_f \$

$V_f=V_g=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \$.

Эти возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде. Скорость упругих волн (скорость звука) определяется в механике выражением:

$V_{ac}=\sqrt{\frac{E}{\rho_{1D}}} \$,

где $E \$- модуль Юнга, а $\rho_{1D}=\frac{m}{a}$ - одномерная плотность среды. Модуль Юнга определяет отношение силы $\gamma(\xi_n-\xi_{n-1}) \$ к вызванной ею относительной деформации $(\xi_n-\xi_{n-1})/a \$. Он равен

$E=a\gamma \$.

Таким образом, акустическая скорость равна величине:

$V_{ac}=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \$.

Следовательно, рассматриваемые в пределе $ka \ll 1 \$ возбуждения совпадают с акустическими волнами в упругой среде. Поэтому эти возбуждения называются акуситическими фононами.

Оптические фононы

Когда волновой вектор приближается к границе зоны Бриллюэна ($ka \to \pi \$ или $\lambda \to 2a \$), то фазовая скорость будет равна величине:

$V_f \to \frac{2a}{\pi}\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \$,

а групповая скорость стремится к нулю. Эти элементарные возбуждения в твердом теле можно назвать оптическими фононами.

Акустические и оптические фононы

Пожалуйста, улучшите и дополните этот раздел. Замечания о том, что нужно улучшить, могут быть на странице обсуждения статьи.

Дисперсионные кривые для линейной двухатомной цепочки

Акустические фононы

Акустический фонон характеризуется при малых волновых векторах линейным законом дисперсии и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решетки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трехмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну. В центре зоны Бриллюэна (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов линейны.

$\omega_i = s_i k \,$,

где ω — частота колебаний, k — волновой вектор, а коэффициенты S_i — скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука .

Оптические фононы

Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов. Эти фононы характеризуются при малых волновых векторах такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остается неподвижным. Энергия оптических фононов обычно достаточно велика (порядка 500 см⁻¹) и слабо зависит от волнового вектора.

Наряду с электронами, акустические и оптические фононы дают вклад в теплоёмкость кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно модели Дебая, кубически зависит от температуры.

См. также

• Звук

Литература

• Давыдов А. С. Теория твердого тела. М.:Наука, 1976.-636с.
• Feynman Richard P. Statistical Mechanics, A Set of Lectures. — Reading, Massachusetts: The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1982. — P. 159. — ISBN Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Добавить иллюстрации.

Частицы в физике

 

Элементарные частицы	Фермионы Кварки u · d · c · s · t · b Лептоны e− · e+ · μ− · μ+ · τ− · τ+ · νe · νe · νμ · νμ · ντ  · ντ Бозоны Калибровочные бозоны γ · g · W-бозон · Z-бозон бозоны Хиггса H0 Другие Ду́хи Гипотетические Суперпартнёры Гейджино Чарджино · Глюино · Гравитино · Нейтралино Другие Аксино · Хиггсино · Сфермион Другие A0 · Дилатон · G · J · Тахион · X · X (4140) Y · W’ · Z’ · Стерильное нейтрино
Составные частицы	Адроны Барионы / Гипероны Нуклоны (p · p · n · n)  · Δ · Λ · Σ · Ξ · Ω Мезоны / Кварконии π · ρ · η · η′  · φ · ω  · J/ψ · ϒ · θ · K · B · D · T Другие Атомные ядра · Атомы · Экзотические атомы (Позитроний · Мюоний · Кварконий) · Молекулы Гипотетические Экзотические адроны Экзотические барионы Дибарион · Пентакварк Экзотические мезоны Глюбол · Тетракварк Другие Мезонная молекула · Померон
Квазичастицы	Солитон Давыдова · Экситон · Биэкситон · Магнон · Фонон · Плазмон · Поляритон · Полярон · Примесон · Ротон · Биротон · Дырка · Электрон · Куперовская пара · Орбитон · Трион · Фазон · Флуктуон · Энион · Холон и спинон
Списки	Список частиц · Список квазичастиц · Список барионов · Список мезонов · История открытия частиц