Лемма Урысона

Два подмножества A и B в данном топологическом пространстве X называются функционально отделимыми в X, если существует такая определенная во всем пространстве вещественная ограниченная непрерывная функция f, которая принимает во всех точках множества A одно значение a, a во всех точках множества B ― некоторое отличное от a значение b. При этом всегда можно предположить, что $a=0,b=1,0\leqslant f(x)\leqslant 1$ во всех точках $x\in X$.

Пространство, в котором всякая точка функционально отделима от всякого не содержащего её замкнутого множества, называется вполне регулярным.

Свойства

• Два функционально отделимых множества всегда отделимы и окрестностями. Обратное утверждение верно не всегда, однако имеет место:
  • Лемма Урысона. В нормальном пространстве всякие два дизъюнктные замкнутые множества функционально отделимы.

См. также

• Принцип разделимости