Конечные автоматы

Конечный автомат — в теории алгоритмов математическая абстракция, позволяющая описывать пути изменения состояния объекта в зависимости от его текущего состояния и входных данных, при условии что общее возможное количество состояний конечно. Конечный автомат является частным случаем абстрактного автомата.

Существуют различные варианты задания конечного автомата. Например, конечный автомат может быть задан с помощью пяти параметров: $\boldsymbol{M = (Q , \Sigma , \delta , q_0 , F)}$ где:

• Q — конечное множество состояний автомата;
• q₀ — начальное состояние автомата ($q_0 \in Q$);
• F — множество заключительных (или допускающих) состояний, таких что $F \subset Q$;
• Σ — допустимый входной алфавит (конечное множество допустимых входных символов), из которого формируются строки, считываемые автоматом;
• δ — заданное отображение множества $Q \times \Sigma$ во множество $\mathcal {P} (Q)$ подмножеств Q: $\delta : Q \times \Sigma \rightarrow \mathcal {P} (Q)$ (иногда δ называют функцией переходов автомата).

Автомат начинает работу в состоянии q₀, считывая по одному символу входной строки. Считанный символ переводит автомат в новое состояние из Q в соответствии с функцией переходов. Если по завершении считывания входного слова (цепочки символов) автомат оказывается в одном из допускающих состояний, то слово «принимается» автоматом. В этом случае говорят, что оно принадлежит языку данного автомата. В противном случае слово «отвергается».

Конечные автоматы широко используются на практике, например в синтаксических, лексических анализаторах, и тестировании программного обеспечения на основе моделей.

Другие способы описания

1. Диаграмма состояний (или иногда граф переходов) — графическое представление множества состояний и функции переходов. Представляет собой нагруженный однонаправленный граф, вершины которого — состояния КА, дуги — переходы из одного состояния в другое, а нагрузка — символы, при которых осуществляется данный переход. Если переход из состояния q1 в q2 может быть осуществлен при появлении одного из нескольких символов, то над дугой должны быть надписаны все они.
2. Таблица переходов — табличное представление функции δ. Обычно в такой таблице каждой строке соответствует одно состояние, а столбцу — один допустимый входной символ. В ячейке на пересечении строки и столбца записывается действие, которое должен выполнить автомат, если в ситуации, когда он находился в данном состоянии на входе он получил данный символ.

Детерминированность

Конечные автоматы подразделяются на детерминированные и недетерминированные.

Детерминированный конечный автомат

• Детерминированным конечным автоматом (ДКА) называется такой автомат, в котором для каждой последовательности входных символов существует лишь одно состояние, в которое автомат может перейти из текущего.

• Недетерминированный конечный автомат (НКА) является обобщением детерминированного. Недетерминированность автоматов достигается двумя способами:

Существуют переходы, помеченные пустой цепочкой ε	Из одного состояния выходит несколько переходов, помеченных одним и тем же символом

Существует теорема, гласящая, что «Любой недетерминированный конечный автомат может быть преобразован в детерминированный так, чтобы их языки совпадали» (такие автоматы называются эквивалентными). Однако, поскольку количество состояний в эквивалентном ДКА в худшем случае растёт экспоненциально с ростом количества состояний исходного НКА, на практике подобная детерминизация не всегда возможна. Кроме того, конечные автоматы с выходом в общем случае не поддаются детерминизации.

В силу последних двух замечаний, несмотря на большую сложность недетерминированных конечных автоматов, для задач, связанных с обработкой текста, преимущественно применяются именно НКА.

Автоматы и регулярные языки

Для автомата можно определить язык (множество слов) в алфавите Σ, который он представляет — так называется множество слов, при вводе которых автомат переходит из начального состояния в одно из состояний множества F.

Теорема Клини гласит, что класс языков, представимых конечными автоматами, совпадает с классом регулярных языков. Кроме того, этот класс совпадает с классом языков, задаваемых регулярными грамматиками.

См. также

• Автоматное программирование
• Компилятор
• Транслятор
• Сеть Петри

Ссылки

• Недетерминированные конечные автоматы

Ссылки

• М. И. Дехтярь Введение в схемы, автоматы и алгоритмы
• Open source генератор конечных автоматов на языке С++ по XML файлам описания