Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

$\sum^{n}_{k=0} {a_k y^{(k)}(t)}=a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)}+\dots+ a_1 y' + a_0 y=f(t)$

где

• $y=y(t)$ — искомая функция,
• $y^{(k)}=y^{(k)}(t)$ — её $k$-тая производная,
• $a_0, a_1, a_2,\dots a_n$ — фиксированные числа,
• $f(t)$ — заданная функция (когда $f(t)\equiv 0$, имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

Однородное уравнение

Определение

Кратный корень многочлена $a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_n$ — некое число $c$ делящееся без остатка на $(x-c)^k$, но не на $(x-c)^{k+1}$, где

$c$ — число, называемое корнем кратности;

$k$ — число, называемое кратностью корня.

Уравнение порядка n

Однородное уравнение:

$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y=0$

интегрируется следующим образом:

Пусть $\lambda_1, \dots,\lambda_k$ — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

$a_n \lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_1 \lambda + a_0 = 0$

кратностей $m_1,m_2,\dots, m_k$, соответственно, $m_1+m_2+\dots+m_k=n$.

Тогда функции

$t^\nu e^{\lambda_jt},\ \ 1\le j\le k,\ \ 0\le \nu \le m_j-1$

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней $\lambda_j = \alpha_j \pm i\beta_j,\ \ 1\le j\le k$ можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

$t^\nu e^{\alpha_j t}\cos (\beta_j t),\ \ t^\nu e^{\alpha_j t}\sin (\beta_j t),\ \ j\in \overline{1 \dots k},\ \ 0\le \nu \le m_j-1$

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

Уравнение второго порядка

Однородное уравнение второго порядка:

$a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y=0$

интегрируется следующим образом:

Пусть $\lambda_1, \lambda_2$ — корни характеристического уравнения.

$a_2 \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0$,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта $\Delta=a_1^2 - 4a_2a_0$:

• при $\Delta > 0$ уравнение имеет два различных вещественных корня

$\lambda_{1,2} =\alpha_{1,2} = \frac{-a_1 \pm \sqrt{\Delta}}{2a_2}.$

Общее решение имеет вид:

$y(t) = c_1e^{\alpha_1 t} + c_2e^{\alpha_2 t}$

• при $\Delta = 0$ — два совпадающих вещественных корня

$\lambda_1 = \lambda_2 = \alpha = \frac{-a_1}{2a_2}.$

Общее решение имеет вид:

$y(t) = c_1e^{\alpha t} + c_2te^{\alpha t}$

• при $\Delta < 0$ существуют два комплексно сопряженных корня

$\lambda_{1,2} =\alpha \pm i\beta = \frac{-a_1}{2a_2} \pm i\frac{ \sqrt{|\Delta|}}{2a_2}.$

Общее решение имеет вид:

$y(t) = c_1e^{\alpha t}\cos (\beta t) + c_2 e^{\alpha t}\sin (\beta t)$

Неоднородное уравнение

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

Вид общего решения неоднородного уравнения

Если дано частное решение неоднородного уравнения $y_0(t)$, и $y_1(t),\ldots, y_n(t)$ — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

$y(t) = c_1y_1(t) + \ldots + c_ny_n(t) + y_0(t),$

где $c_1,\dots,c_n$ — произвольные постоянные.

Принцип суперпозиции

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций

$f(t)=f_1(t) + f_2(t)$,

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

$y_0(t)=y_{01}(t) + y_{02}(t)$,

где $y_{0j}(t),\ \ j\in \overline{1,2}$ являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями $f_j(t),\ \ j\in \overline{1,2}$, соответственно.

Частный случай: квазимногочлен

В случае, когда $f(t)$ — квазимногочлен, то есть

$f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos (\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin (\beta t)$

где $p(t),\ q(t)$ — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

$y_0(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos (\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin (\beta t))t^s$

где

• $P(t),\ Q(t)$ многочлены, $deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),\ deg(q))$, коэффициенты которых находятся подстановкой $y_0(t)$ в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
• $s$ является кратностью комплексного числа $w=\alpha + i\beta$, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

В частности, когда

$f(t)=p(t)e^{\alpha t}$

где $p(t)$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

$y_0(t)=P(t)e^{\alpha t}t^s$

Здесь $P(t)$ — многочлен, $deg(P)=deg(p)$, с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой $y_0(t)$ в уравнение. $s$ является кратностью $\alpha$, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Когда же

$f(t)=p(t)$

где $p(t)$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

$y_0(t)=P(t)t^s$

Здесь $P(t)$ — многочлен, $deg(P)=deg(p)$, а $s$ является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Уравнение Коши — Эйлера

Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

$\sum^{n}_{k=1} {a_k(\alpha x + \beta )^k y^{(k)}(x)}= a_n(\alpha x + \beta )^n y^{(n)}(x) + ... + a_2(\alpha x + \beta )^2 y''(x) + a_1(\alpha x + \beta ) y'(x) + a_0y(x) = f(x)$,

приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида $(\alpha x + \beta ) = e^t$.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.