Автокорреляционная функция

График 100 случайных величин со скрытой синусоидой. Автокорреляционная функция позволяет увидеть периодичность в ряде данных.

Автокорреляция  — статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса — со сдвигом по времени.

Автокорреляционная функция (АКФ, ACF).

В обработке сигналов автокорреляционная функция (АКФ) определяется интегралом:

$\Psi(\tau) = \int f(t) f(t-\tau) \mathrm{d}t$

и показывает связь сигнала (функции $\;f(t)$) с копией самого себя, смещённого на величину $\tau$.

В теории случайных функций АКФ является корреляционным моментом двух значений одной случайной функции $\;X(t)$:

$K (t_1, t_2) = \mathbb{E}\left\{\left[X(t_1)-\overline{x}(t_1)\right]\left[X(t_2)-\overline{x}(t_2)\right]\right\}/\mathbb{D}$

Здесь $\overline{x}(t)=\mathbb{E}\left[X(t)\right]$, а $\mathbb{E}\left[X(t)\right]$ — математическое ожидание.

График автокорреляционной функции можно получить, отложив по оси ординат коэффициент корреляции двух функций (базовой и функции сдвинутой на величину $\tau$) а по оси абсцисс величину $\tau$. Если исходная функция строго периодическая, то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом, из этого графика можно судить о периодичности базовой функции, а следовательно, и о её частотных характеристиках. Это применяется для анализа сложных колебаний, например электроэнцефалограммы человека.

Применение в технике

Корреляционные свойства кодовых последовательностей, используемых в широкополосных системах, зависят от типа кодовой последовательности, её длины, частоты следования её символов и от её посимвольной структуры.

Изучение АКФ играет важную роль при выборе кодовых последовательностей с точки зрения наименьшей вероятности установления ложной синхронизации.

Другие применения

Автокорреляционная функция играет важную роль в математическом моделировании и анализе временных рядов, показывая характерные времена для исследуемых процессов (см., например: Турчин П. В. Историческая динамика. М.: УРСС, 2007. ISBN 978-5-382-00104-3). В частности, циклам в динамике систем соответствуют максимумы на соответствующей автокорреляционной функции.

См. также

• Взаимнокорреляционная функция
• Периодичность
• Корреляция
• Критерий Дарбина-Уотсона

Ссылки

• функция xcorr в MATLAB