Внешняя мера

В математике, в частности в теории меры, внешняя мера — это функция, определенная на всех подмножествах данного множества с действительным значением, что удовлетворяет нескольким дополнительным техническим условиям.

Общая теория внешней меры была разработана Константином Каратеодори с целью обеспечить основу для теории измеримых множеств и счётно-аддитивных мер. Работы Каратеодори по внешней мере нашли немало применений в теории измеримых множеств (внешняя мера, например, используется в доказательстве фундаментальной теоремы Каратеодори о продолжении), и была использована Хаусдорфом для определения метрического инварианта, обобщающего размерность, сейчас он называется размерностью Хаусдорфа.

Мера обобщает длину, площадь и объем, но также находит применение для многих абстрактных и необычных вещей, кроме интервалов или же шаров в $\mathbb{R}^{3}$.

Случай числовой прямой

Для произвольного подмножества $E$ числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем, состоящих из конечного или счётного количества интервалов, объединение которых содержит множество $E$. Назовем такие системы покрытиями. Поскольку сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, является величиной неотрицательной, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю границу. Эта грань, зависящая только от множества $E$, и называется внешней мерой:

$m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}$

Варианты обозначения внешней меры:

$m^*E=\varphi(E)=|E|^*$

Формальное определение

Пусть $X$ - фиксированное универсальное множество. Внешней мерой называется функция $\mu^{*}\colon 2^{X} \longrightarrow [0,\, +\infty]$, такая, что

1. $\mu^{*}(\varnothing) = 0$;
2. $\forall A \subseteq X,\, \forall A_{n} \sub X, n \geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n \colon \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n})$.

Пусть $\mu$ - мера, определенная на кольце $K$. Внешней мерой, порожденной мерой $\mu$, называется функция $\mu^{*}\colon 2^{X} \longrightarrow [0,\, +\infty]$, такая, что

1. $\mu^{*}(A) = \inf\bigl\{\sum_{n = 1}^{\infty}\mu(A_{n})\bigr\},\; A_{n} \subset K, n\geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n}$, если хоть одно такое покрытие множества $A$ существует;
2. $\mu^{*}(A) = +\infty$ в противном случае.

Теорема. Внешняя мера $\mu^{*}$, порожденная мерой $\mu$, является внешней мерой.

$\vartriangleright$ Проверим пункт первый из определения внешней меры. $\mu \geqslant 0 \Rightarrow \mu^{*} \geqslant 0$. $\mu^{*}$ определена на $2^{X}$.

$\varnothing \in K\colon \mu^{*}(\varnothing) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu(\varnothing) = 0 \Rightarrow \mu^{*}(\varnothing) = 0$.

Проверим второй пункт определения. Пусть $A \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n$. Если существует такое множество $A_{n}$ из покрытия, что $\mu^{*}(A_{n}) = +\infty$, то неравенство выполняется. Пусть дальше все множества из покрытия такие, что $\mu^{*}(A_{n}) < +\infty,\, \forall n \geqslant 1$. Возьмем произвольное $\varepsilon > 0$, по определению точной нижней границы

$\forall n \geqslant 1\, \exists B_{n_{k}} \in K, k \geqslant 1,\, A_{n} \subseteq \bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}}\colon \mu^{*}(A_{n}) > \sum_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}} - \frac{\varepsilon}{2^{n}}$.

Тогда

$\bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}} \supseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n} \supseteq A$.

Поскольку $\bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}}$ является счётным объединением элементов кольца $K$, то

$\mu^{*}(A) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{k = 1}^{\infty}\mu(B_{n_{k}}) < \sum_{n = 1}^{\infty}\bigl(\mu^{*}(A_{n}) + \frac{\varepsilon}{2^{n}}\bigr) = \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n}) + \varepsilon, \varepsilon \longrightarrow 0+$. $\vartriangleleft$

Свойства внешней меры

Свойства внешней меры $\mu^{*}$:

• $\forall n \geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{k = 1}^{n}A_{k}\colon \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k})$.
  

$\vartriangleright$ Действительно,

$A \subseteq \bigcup_{k = 1}^{n}A_{k} \cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k}) + \mu^{*}(\varnothing) + \mu^{*}(\varnothing) + \cdots = \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k})$. $\vartriangleleft$

• $A \subseteq B \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \mu^{*}(B)$ (монотонность).
  

$\vartriangleright$ Вытекает из предыдущего свойства при $n = 1$. $\vartriangleleft$

$\mu^{*}$ — измеримые множества

Пусть $\mu^{*}$ — некоторая внешняя мера, определенная на подмножестве множества $X$. Тогда множества $E \subset X$, такие, что для всех $A \subset X$ выполняется равенство:

$\mu^{*}(A) = \mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E^').$

называются $\mu^{*}$ — измеримыми. $\mu^{*}$ — измеримые множества образуют σ-кольцо, а функция $\mu^{*}$, определенная на элементах этого σ-кольца, является мерой, порожденной $\mu^{*}$. Если внешняя мера $\mu^{*}$ порождена некоторой мерой $\mu$, определенной на кольце $K$, то $\overline \mu$ будет продолжением меры $\mu$ (где $\overline \mu$ - определенная выше мера, порожденная $\mu^{*}$).

Если определить $\overline \mu^*$ некоторой внешней мерой, порожденой мерой $\overline \mu$, то $\mu^{*} = \overline \mu^*$ тогда и только тогда, когда сама внешняя мера $\mu^{*}$ порождена некоторой мерой $\mu$.

См. также

• Мера Лебега
• Теорема Каратеодори о продолжении меры

Литература

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989
• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953