Вириальная теорема

В механике, вириал G для множества N точечных частиц определяется как:

$G = \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k}$

где $\mathbf{r}_{k}$ и $\mathbf{p}_{k}$ — пространственные вектора координат и импульсов для k-й частицы. Выражение «вириал» происходит от латинских слов vis, viris для «силы» или «энергии», оно было введено Клаузиусом в 1870.

Для стабильной системы, связанной потенциальными силами, справедлива теорема о вириале:

$2 \left\langle T \right\rangle = -\sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle$

где $\left\langle T \right\rangle$ представляет среднюю полную кинетическую энергию и $\mathbf{F}_{k}$ — сила, действующая на k-ю частицу.

В частном случае, когда соответствующая силе потенциальная энергия взаимодействия V(r) пропорциональна n-й степени расстояния между частицами r, вириальная теорема принимает простую форму

$2 \langle T \rangle = n \langle U \rangle$

Другими словами, удвоенная средняя полная кинетическая энергия T равна n-кратной средней полной потенциальной энергии U.

Значение теоремы о вириале состоит в том, что она позволяет вычислить среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, что бросает вызов точным решениям типа тех, которые рассматривает статистическая механика. Например, теорему о вириале можно использовать, чтобы вывести эквипарциальную теорему (теорема о равномерности распределении энергии по степеням свободы) или вычислить предел Чандрасекара для устойчивости белого карлика.

Производная по времени и усреднение

Производную по времени от вириала можно записать

$\frac{dG}{dt} = \sum_{k=1}^{N} \frac{d\mathbf{p}_{k}}{dt} \cdot \mathbf{r}_{k} + \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \cdot \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}$

$= \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} + \sum_{k=1}^{N} m_{k} \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}$

или в более простой форме

$\frac{dG}{dt} = 2 T + \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k}.$

Здесь m_k масса k-й частицы, $\mathbf{F}_{k} = \frac{d\mathbf{p}_{k}}{dt}$ — полная сила, действующая на частицу, а T — полная кинетическая энергия системы

$T = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} v_{k}^{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}.$

усреднение этой производной за время τ определяется следующим образом

$\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = \frac{1}{\tau} \int\limits_{0}^{\tau} \frac{dG}{dt}\,dt = \frac{1}{\tau} \int\limits_{0}^{\tau} dG = \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau},$

откуда мы получим точное решение

$\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 2 \left\langle T \right\rangle_{\tau} + \sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle_{\tau}.$

Теорема о вириале

Вириальная теорема утверждает, что если $\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 0$, то

$2 \left\langle T \right\rangle_{\tau} = -\sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle_{\tau}.$

Имеется несколько причин того, почему усреднение производной по времени исчезает, то есть $\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 0$. Одна часто цитируемая причина аппелирует к связанным системам, то есть системам, которые остаются ограниченными в пространстве. В этом случае вириал G^bound обычно ограничен двумя пределами, G_min и G_max, и среднее стремится к нулю в пределе очень долгих времен τ

$\lim_{\tau \rightarrow \infty} \left| \left\langle \frac{dG^{\mathrm{bound}}}{dt} \right\rangle_{\tau} \right| = \lim_{\tau \rightarrow \infty} \left| \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau} \right| \le \lim_{\tau \rightarrow \infty} \frac{G_\max - G_\min}{\tau} = 0.$

Если среднее значение производной по времени $\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} \approx 0$ только приблизительно равно нулю, вириальная теорема имеет ту же степень приближения.

Соотношение с потенциальной энергией

Полная сила $\mathbf{F}_{k}$, действующая на частицу k, есть сумма всех сил действующих со стороны других частиц j в системе

$\mathbf{F}_{k} = \sum_{j=1}^{N} \mathbf{F}_{jk}$

где $\mathbf{F}_{jk}$ — сила, действующая на частицу j со стороны частицы k. Отсюда, слагаемое в производной по времени от вириала, содержащее силу, можно переписать в виде

$\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k}.$

поскольку отсутствует самодействие (то есть $\mathbf{F}_{jk} = 0$, где j = k), мы получим

$\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k} + \sum_{k=1}^{N} \sum_{j>k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \left( \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} \right).$

где мы предположим, что выполняется третий закон Ньютона, то есть $\mathbf{F}_{jk} = -\mathbf{F}_{kj}$ (равны по модулю и противоположны по направлению).

Часто случается, что силы могут быть получены из потенциальной энергии V, которая является функцией только расстояния r_jk между точечными частицами j и k. Поскольку сила — это градиент потенциальной энергии с обратным знаком, мы имеем в этом случае

$\mathbf{F}_{jk} = -\nabla_{\mathbf{r}_{k}} V = - \frac{dV}{dr} \frac{\mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j}}{r_{jk}},$

который равен по модую и противоположен по направлению вектору $\mathbf{F}_{kj} = -\nabla_{\mathbf{r}_{j}} V$ — силе, которая действует со стороны частицы k на частицу j, как можно показать простыми вычислениями. Отсюда силовое слагаемое в производной от вириала по времени равно

$\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \left( \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} \right) = -\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \frac{dV}{dr} \frac{\left( \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} \right)^2}{r_{jk}} = -\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \frac{dV}{dr} r_{jk}.$

Применение к силам, зависящим от расстояния степенным образом

Часто оказывается, что потенциальная энергия V имеет вид степенной функции

$V(r_{jk}) = \alpha r_{jk}^{n},$

где коэффициент α и показатель n — константы. В таком случае, силовое слагаемое в производной от вириала по времени задаётся следующими уравнениями

$-\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \frac{dV}{dr} r_{jk} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} n V(r_{jk}) = n U$

где U — полная потенциальная энергия системы

$U = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} V(r_{jk}).$

В таких случаях, когда среднее от производной по времени от вириала $\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 0$ — ноль, выполняется уравнение

$\langle T \rangle_{\tau} = -\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} \langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \rangle_{\tau} = \frac{n}{2} \langle U \rangle_{\tau}.$

Обычно приводимый пример — гравитационное притяжение, для которого n = − 1. В том случае, средняя кинетическая энергия — половина средней отрицательной потенциальной энергии

$\langle T \rangle_{\tau} = -\frac{1}{2} \langle U \rangle_{\tau}.$

Этот результат является замечательно полезным для сложных гравитационных систем, типа солнечная система или галактика, и также выполняется для электростатической системы, для которой n = − 1 также.

Хотя это выражение получено для классической механики, вириальная теорема также верна для квантовой механики.

Учёт электромагнитных полей

Вириальную теорему можно обобщить на случай электрических и магнитных полей. Результат^[1]

$\frac{1}{2}\frac{d^2}{dt^2}I + \int\limits_Vx_k\frac{\partial G_k}{\partial t}d^3r = 2(T+U) + W^E + W^M - \int x_k(p_{ik}+T_{ik})dS_i,$

где I — момент инерции, G — вектор Пойнтинга, T — кинетическая энергия «жидкости», U — случайная тепловая энергия частиц, W^E и W^M — энергия электического и магнитного поля в рассматирваемом объёме системы. p_ik — тензор давления жидкости выраженный в локальной движущейся системе координат, сопутствующей жидкости

$p_{ik} = \Sigma n^\sigma m^\sigma \langle v_iv_k\rangle^\sigma - V_iV_k\Sigma m^\sigma n^\sigma$,

и T_ik — тензор напряжённости электромагнитного поля,

$T_{ik} = \left( \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} \right) - \left( \varepsilon_0E_iE_k + \frac{B_iB_k}{\mu_0} \right).$

Плазмоид — ограниченная конфигурация магнитных полей и плазмы. С помощью вириальной теоремы легко показать, что любая такая конфигурация расширяется, если не сдерживается внешними силами. В конечной конфигурации поверхностный интеграл исчезнет без оказывающих давление стен или магнитных катушек. Так как все другие слагаемые справа положительные, ускорение момента инерции также будет положительно. Легко оценить время расширения τ. Если полная масса M ограничена в пределах радиуса R, то момент инерции — примерно MR², и левая сторона в вириальной теореме — MR²/τ². Слагаемые справа составляют в целом величину порядка pR³, где p — большее из плазменного давления или магнитного давления. Приравнивая эти два члена и решая для и решая уравнение на τ, мы находим:

$\tau\,\sim R/c_s,$

гдеc_s является скоростью ионной акустической волны (или волны Альфена, если магнитное давление выше, чем плазменное давление). Таким образом, время жизни плазмоида, как ожидают, будет равняться по порядку величины акустическому (альфеновскому) времени прохождения.

Ссылки

1. ↑ George Schmidt, Physics of High Temperature Plasmas (Second edition), Academic Press (1979), p.72

Дополнительное чтение

• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9