Условия Коши — Римана

Условия Коши — Римана

Условия Коши — Римана, или условия д’Аламбера — Эйлера — условия на вещественную u = u(x,y) и мнимую v = v(x,y) части функции комплексного переменного $w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy$, обеспечивающие бесконечную непрерывную дифференцируемость f(z) как функции комплексного переменного.

Теорема

Для того чтобы функция w = f(z), определённая в некоторой области D комплексной плоскости, была дифференцируема в точке z₀ = x₀ + iy₀ как функция комплексного переменного z, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части u и v были дифференцируемы в точке (x₀,y₀) как функции вещественных переменных x и y и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$;

$\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}$;

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная f'(z) представима в любой из следующих форм:

$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}.$

Доказательство

Следствия

• Выполнение условий Коши — Римана на открытом подмножестве $\Bbb C$ является необходимым условием аналитичности функции.
• Если, кроме того, частные производные непрерывны, то функция является аналитической.

История

Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752 г.). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 г., условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций. Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 г. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 г.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.