Теорема Фари — Милнора

Теорема Фари — Милнора

Теоре́ма Фа́ри — Ми́лнора — теорема теории узлов, одного из разделов математики.

Пусть $~K$ — узел в трёхмерном евклидовом пространстве и $~k=k(p)$ — его кривизна в точке $~p$. Тогда если $\int_K k\,ds \leqslant 4\pi,$ то узел $~K$ — тривиальный.

В качестве немедленного следствия этой теоремы получается, что для всякого нетривиального узла $\int_K k\,ds > 4\pi.$ Однако следует иметь в виду, что для некоторых тривиальных (то есть незаузленных) узлов величина $\int_K k\,ds$, называемая интегральной кривизной узла, может превышать $~4\pi$.

Теорема была доказана независимо Истваном Фари в 1949 и Джоном Милнором в 1950.

Литература

• I. Fary, Sur la courbure totale d’une courbe gauche faisant un nœud, Bulletin de la Société Mathématique de France, 77 (1949), 128—138.
• J.W. Milnor, On the total curvature of knots, Annals of Mathematics, 52 (1950), 248—257.