Суммы Рамануджана

Суммы Рамануджана — это тригонометрические суммы, зависящие от двух целочисленных параметров $k$ и $n$, вида:

$c_k(n)=\sum_h\cos\left(\frac{2\pi nh}{k}\right)=\sum_h\exp\left(\frac{2\pi nhi}{k}\right),$

где $h<k,\;h\in\mathbb{Z}_0$ и $(h,\;k)=1$.

Основным свойством сумм Рамануджана является их мультипликативность относительно индекса $k$, то есть

$c_{kk'}(n)=c_k(n)c_{k'}(n),$

если $(k,\;k')=1$.

Суммы $c_k(n)$ можно представить через функцию Мёбиуса $\mu$:

$c_k(n)=\sum_{d\setminus(k,\;n)}\mu\left(\frac{k}{d}\right)d.$

Суммы Рамануджана ограничены при ограниченных либо $k$, либо $n$. Так, например, $c_k(1)=1$.

Применение сумм Рамануджана

Многие мультипликативные функции от натурального аргумента могут быть разложены в ряды по $c_k(n)$. Верно и обратное.

Основные свойства сумм позволяют вычислять суммы вида:

$\sum_{n=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{n^s}f(n),\quad\sum_{k=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{k^s}f(k),$

где $f(n)$ — мультипликативная функция, $q$ — целое число, $s$ — в общем случае, комплексное.

В простейшем случае, можно получить

$\sum_{k=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{k^s}=\frac{\sigma_{1-s}(n)}{\zeta(s)},$

где $\zeta(s)$ — дзета-функция Римана, $\sigma_k(n)$ — сумма $k$-х степеней делителей числа $n$.

Такие суммы тесно связаны с особыми рядами некоторых аддитивных проблем теории чисел, например, представление натуральных чисел в виде чётного числа квадратов. В работе [1] приведены многие формулы, содержащие данные суммы.

Литература

1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
2. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
3. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
4. Vоlkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
5. Tитчмapш, E. К. Теория дзета-функции Римана. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 407 с. — ISBN 5114800906.
6. Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.