Список кристаллографических групп

Кристаллографические группы (группы симметрии трёхмерного пространства, фёдоровские группы) — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества точек в трёхмерном пространстве. Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом. Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии.

Легенда к списку

Символ Германа — Могена

Основная статья: Символика Германа — Могена

Символ пространственной группы содержит символ решетки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве.

Классы

Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты:

• $n\,$ — ось симметрии n-го порядка.
• $\bar{n}\,$ — инверсионная ось симметрии n-го порядка.
• $m\,$ — плоскость симметрии.
• $nm\,$ или $nmm\,$— ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё.
• $\frac{n}{m}$ — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная .
• $n2\,$ — ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
• $n /mmm \,$ — ось симметрии n-го порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
• $\bar{n} m2\,$ или $\bar{n} 2m\,$ (n — чётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, $\tfrac{n}{2}$ плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё и $\tfrac{n}{2}$ осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
• $\bar{n} m\,$ (n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.

Символ Шёнфлиса

Основная статья: Символы Шёнфлиса

• С_n — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.

• С_ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
• C_nv (от нем. vertical — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
• C_nh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.

• S₂, S₄, S₆ (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.

• C_s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.

• D_n — является группой С_n с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.

• D_nh — также имеет имеет горизонтальную плоскость симметрии.
• D_nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.

• O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.

• O_h и T_h — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
• T_d — также содержат диагональную плоскость симметрии

n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.

Список всех 230 групп

Номер	Класс	Порядок класса	Символ Германа-Могена	Символ Шёнфлиса	Изображение
Триклинная система
1	$1\,$	1	$P1\,$	$C_1\,$
2	$\bar{1}\,$	1	$P1\bar{1}$	$C_1\,$
Моноклинная система
3-5	$2\,$	3	$P2\,$ $P2_1\,$ $P2\,$	$C_2\,$	Внешне человек обладает $C_{s}\,$ симметрией.
6-9	$m\,$	3	$Pm\,$ $Pb\,$ $Bm\,$ $Bb\,$	$C_s\,$
10-15	$\frac{2}{m}\,$	6	$P\frac{2}{m}\,$ $P\frac{2_1}{m}\,$$B\frac{2}{m}\,$ $P\frac{2}{b}\,$ $P\frac{2_1}{b}\,$ $B\frac{2}{b}\,$	$C_{2h}\,$
Ромбическая система
16-24	$222\,$	9	$P222\,$ $P222_1\,$ $P2_12_12\,$ $P2_12_12_1\,$ $C222_1\,$ $C222\,$ $F222\,$ $I222\,$ $I2_12_12_1\,$	$D_{2}\,$	Рельсы обладают $C_{2h}$ симметрией.
25 - 46	$mm2\,$	22	$Pmm2\,$ $Pmc2_{1}\,$ $Pcc2\,$ $Pma2\,$ $Pca2_{1}\,$ $Pnc2\,$ $Pmn2_{1}\,$ $Pba2\,$ $Pna2_{1}\,$ $Pnn2\,$ $Cmm2\,$ $Cmc2_{1}\,$ $Ccc2\,$ $Amm2\,$ $Aem2\,$ $Ama2\,$ $Aea2\,$ $Fmm2\,$ $Fdd2\,$ $Imm2\,$ $Iba2\,$ $Ima2\,$	$C_{2v}\,$
47-74	$mmm\,$	28	$Pmmm\,$ $Pnnn\,$ $Pccm\,$ $Pban\,$ $Pmma\,$ $Pnna\,$ $Pmna\,$ $Pcca\,$ $Pbam\,$ $Pccn\,$ $Pbcm\,$ $Pnnm\,$ $Pmmn\,$ $Pbcn\,$ $Pbca\,$ $Pnma\,$ $Cmcm\,$ $Cmce\,$ $Cmmm\,$ $Cccm\,$ $Cmme\,$ $Ccce\,$ $Fmmm\,$ $Fddd\,$ $Immm\,$ $Ibam\,$ $Ibca\,$ $Imma\,$	$D_{2h}\,$
Тетрагональная система
75-80	$4\,$	6	$P4\,$ $P4_{1}\,$ $P4_{2}\,$ $P4_{3}\,$ $I4\,$ $I4_{1}\,$	$C_{4}\,$	$C_4$ Симметрия.
81-82	$\bar{4}\,$	2	$P\bar{4}\,$ $I\bar{4}\,$	$S_{4}\,$
83-88	$4/m \,$	6	$P4/m\,$ $P4_{2}/m\,$ $P4/n\,$ $P4_{2}/n\,$ $I4/m\,$ $I4_{1}/a\,$	$C_{4h}\,$
89-98	$422\,$	10	$P422\,$ $P42_{1}2\,$ $P4_{1}22\,$ $P4_{1}2_{1}2\,$ $P4_{2}22\,$ $P4_{2}2_{1}2\,$ $P4_{3}22\,$ $P4_{3}2_{1}2\,$ $I422\,$ $I4_{1}22\,$	$D_{4}\,$	Кристаллическая структура аминоборана обладает $I4mm\,$ симметрией.
99-110	$4mm\,$	12	$P4mm\,$ $P4bm\,$ $P4_{2}cm\,$ $P4_{2}nm\,$ $P4cc\,$ $P4nc\,$ $P4_{2}mc\,$ $P4_{2}bc\,$ $I4mm\,$ $I4cm\,$ $I4_{1}md\,$ $I4_{1}cd\,$	$C_{4v}\,$
111-122	$\bar{4}2m\,$	12	$P\bar{4}2m\,$ $P\bar{4}2c\,$ $P\bar{4}2_{1}m\,$ $P\bar{4}2_{1}c\,$ $P\bar{4}m2\,$ $P\bar{4}c2\,$ $P\bar{4}b2\,$ $P\bar{4}n2\,$ $I\bar{4}m2\,$ $I\bar{4}c2\,$ $I\bar{4}2m\,$ $I\bar{4}2d\,$	$D_{2d}\,$
123-142	$4/mmm\,$	20	$P4/mmm\,$ $P4/mcc\,$ $P4/nbm\,$ $P4/nnc\,$ $P4/mbm\,$ $P4/mnc\,$ $P4/nmm\,$ $P4/ncc\,$ $P4_{2}/mmc\,$ $P4_{2}/mcm\,$ $P4_{2}/nbc\,$ $P4_{2}/nnm\,$ $P4_{2}/mbc\,$ $P4_{2}/mnm\,$ $P4_{2}/nmc\,$ $P4_{2}/ncm\,$ $I4/mmm\,$ $I4/mcm\,$ $I4_{1}/amd\,$ $I4_{1}/acd\,$	$D_{4h}\,$	Кристаллическая решётка циркона имеет $I4_1/amd\,$ симметрию
Тригональная система
143-146	$3\,$	4	$P3\,$ $P3_{1}\,$ $P3_{2}\,$ $R3\,$	$C_{3}\,$	Алмаз обладает $C_3$ симметрией
147-148	$\bar{3}\,$	2	$P\bar{3}\,$ $R\bar{3}\,$	$C_{3i}\,$
149-155	$32\,$	7	$P312\,$ $P321\,$ $P3_{1}12\,$ $P3_{1}21\,$ $P3_{2}12\,$ $P3_{2}21\,$ $R32\,$	$D_{3}\,$
156-161	$3m\,$	6	$P3m1\,$ $P31m\,$ $P3c1\,$ $P31c\,$ $R3m\,$ $R3c\,$	$C_{3v}\,$
162-167	$\bar{3}m$	6	$P\bar{3}1m\,$ $P\bar{3}1c\,$ $P\bar{3}m1\,$ $P\bar{3}c1\,$ $R\bar{3}m\,$ $R\bar{3}c\,$	$D_{3d}\,$
Гексагональная система
168-173	$6\,$	6	$P6\,$ $P6_{1}\,$ $P6_{5}\,$ $P6_{2}\,$ $P6_{4}\,$ $P6_{3}\,$	$C_{6}\,$	Пчелиные соты обладают $C_{6h}$ симметрией
174	$\bar{6}\,$	1	$P\bar{6}\,$	$C_{3h}\,$
175-176	$6/m\,$	2	$P6/m\,$ $P6_{3}/m\,$	$C_{6h}\,$
177-182	$622\,$	6	$P622\,$ $P6_{1}22\,$ $P6_{5}22\,$ $P6_{2}22\,$ $P6_{4}22\,$ $P6_{3}22\,$	$D_{6}\,$	Нанотрубка может обладать $D_{6h}\,$ симметрией.
183-186	$6mm\,$	4	$P6mm\,$ $P6cc\,$ $P6_{3}cm\,$ $P6_{3}mc\,$	$C_{6v}\,$
187-190	$\bar{6}m2\,$	4	$P\bar{6}m2\,$ $P\bar{6}c2\,$ $P\bar{6}2m\,$ $P\bar{6}2c\,$	$D_{3h}\,$
191-194	$6/mmm\,$	4	$P6/mmm\,$ $P6/mcc\,$ $P6_{3}/mcm\,$ $P6_{3}/mmc\,$	$D_{6h}\,$
Кубическая система
195-199	$23\,$	5	$P23\,$ $F23\,$ $I23\,$ $P2_{1}3\,$ $I2_{1}3\,$	$T\,$
200-206	$m\bar{3}\,$	7	$Pm\bar{3}\,$ $Pn\bar{3}\,$ $Fm\bar{3}\,$ $Fd\bar{3}\,$ $Im\bar{3}\,$ $Pa\bar{3}\,$ $Ia\bar{3}\,$	$T_h\,$
207-214	$432\,$	8	$P432\,$ $P4_{2}32\,$ $F432\,$ $F4_{1}32\,$ $I432\,$ $P4_{3}32\,$ $P4_{1}32\,$ $I4_{1}32\,$	$O\,$
215-220	$\bar{4}3m\,$	6	$P\bar{4}3m\,$ $F\bar{4}3m\,$ $I\bar{4}3m\,$ $P\bar{4}3n\,$ $F\bar{4}3c\,$ $I\bar{4}3d\,$	$T_{d}\,$
221-230	$m\bar{3}m\,$	10	$Pm\bar{3}m\,$ $Pn\bar{3}n\,$ $Pm\bar{3}n\,$ $Pn\bar{3}m\,$ $Fm\bar{3}m\,$ $Fm\bar{3}c\,$ $Fd\bar{3}m\,$ $Fd\bar{3}c\,$ $Im\bar{3}m\,$ $Ia\bar{3}d\,$	$O_{h}\,$

В других размерностях

В одномерном пространстве есть всего две симметрии: трансляция и отражение. Примером симметричных фигур могут быть последовательности символов:

... *- *- *- *- *- *- *- ...
... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| ...

Так первая бесконечная последовательность симметрична относительно трансляции на три клетки, вторая последовательность симметрична относительно отражения.

В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии. (см Двумерные дискретные группы (en))

Трёхмерное пространство обладает 230 симметриями.

Порядок группы симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью A006227.

Последующая классификация

Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.

Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.

Классы можно разделить на системы (сингонии). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.

См. также

• 11 классов Лауэ

Ссылки

• Пособие по пространственным группам
• Изображения всех 230 групп