Спектральная плотность

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

Если процесс $x(t)$ имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

$X(f)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i2 \pi f t} dt.$

((1))

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

$E_x=\int\limits_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df.$

((2))

Функция $~S_x(f)=|X(f)|^2$ характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу $x(t)$, реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

$S_x(f)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_x(\tau)e^{-i2 \pi f \tau} d \tau.$

((3))

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной $S_x(f)$ определяет $k_x(\tau)$:

$k_x(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} S_x(f)e^{i2 \pi f \tau} df.$

((4))

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно $f=0$ и $\tau=0$, имеем

$S_x(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_x(\tau)d \tau,$

((5))

$\sigma_x^2=k_x(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} S_x(f)df.$

((6))

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину $S_x(f)df$ можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от $f-df/2$ до $f+df/2$. Если понимать под $x(t)$ случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина $S_x(f)$ будет иметь размерность энергии [В²/Гц] = [В²с]. Поэтому $S_x(f)$ иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: $\sigma_x^2$ – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину $S_x(f)$ называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

• Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

$S_x(f) \ge 0$.

((7))

• Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:

$~S_x(-f)=S_x(f)$.

((8))

• Корреляционная функция $k_x(\tau)$ и энергетический спектр $S_x(f)$ стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр $S_x(f)$ тем «уже» корреляционная функция $k_x(\tau)$, и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.

См. также

• Преобразование Фурье
• Теорема Парсеваля
• Теорема Хинчина-Колмогорова
• Спектральная плотность мощности
• Спектральная плотность излучения

Литература

1. Зюко, А. Г. Теория передачи сигналов / А. Г. Зюко [и др.]. — М.: Связь, 1980. — 288 с.
2. Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. — М.: Радио и связь, 2004. — 608 с. — ISBN 5-256-01701-2
3. Тихонов, В. И. Статистическая теория радиотехнических устройств / В. И. Тихонов, Ю. Н. Бакаев. — М.: Академия им. проф. Н. Е. Жуковского, 1978. — 420 с.