Сжимающее отображение

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми двумя точками не менее чем в $\alpha>1$ раз. Согласно теореме Банаха, у сжимающего отображения полного метрического пространства в себя существует неподвижная точка, причём ровно одна. Это утверждение, также называемое «принципом сжимающих отображений», широко используется при доказательстве различных математических утверждений.

Определение

Пусть на метрическом пространстве $(\mathbb{M}, \rho)$ определён оператор $A: \mathbb{M}\to\mathbb{M}$. Он называется сжимающим на $\mathbb{M}$, если существует такое неотрицательное число $\alpha<1$, что для любых двух точек $x,y\in\mathbb{M}$ выполняется неравенство

${\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}$.

Свойства

Непрерывность

Пусть $(\mathbb{M}, \rho)$ — метрическое пространство и $\mathbb{}A$ — сжимающий оператор на $\mathbb{M}$. Тогда $\mathbb{}A$ — непрерывная функция на $\mathbb{M}$.

Доказательство

Возьмём произвольный элемент ${a}\in\mathbb{M}$. Надо доказать (по определению непрерывности функции), что для $\forall\varepsilon > 0\quad\exists\delta > 0:$ для $\forall{x}\in\mathbb{M}:\rho(a,x)<\delta\to{\rho(Aa,Ax)<\varepsilon}$. Для сжимающего оператора достаточно взять $\delta=\varepsilon:\rho(Aa,Ax)\leqslant\alpha\cdot{\rho(a,x)<\alpha\cdot\delta=\alpha\cdot\varepsilon<\varepsilon}$.

Неподвижная точка

По теореме Банаха у сжимающего отображения существует единственная неподвижная точка $\mathbb{}x^{*}: Ax^{*}=x^{*}$.

Применение

• Численное решение уравнений

Ссылки

• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.