Сейсмоосциллятор

Сейсмический осциллятор (сейсмоосциллятор) — одномассовая динамическая система отклика на кинематическое возбуждение. В целом представляет собой классический случай линейной инерционно-упруго-вязкой консервативной (устойчивой) системы с одной степенью свободы. Такая система наглядно представлена в статье «затухающие колебания». Осциллятор состоит из трёх условных элементов: подвижного тела, пружины и демпфера — последние два соединяют тело с платформой (основанием) и являются их связями.

Параметры сейсмоосциллятора

• М — масса тела (коэффициент инерции, любая положительная величина).
• С — жесткость пружины (показатель ее линейной упругости, —//—//—).
• В — вязкость демпфера (коэффициент вязкого сопротивления, пропорционального скорости. —//—//—).
• x = x(t) — координата перемещения груза относительно основания (относительное перемещение); выражается также скоростью (x’) и ускорением (x”).
• F = F(t) = M a(t) - произвольная функция сейсмонагрузки, заданная переносным ускорением основания — акселерограммой a(t).

Уравнения динамического равновесия и движения

Уравнение вида: M x” + B x’ + C x = M a(t) , записанное в явных параметрах сейсмоосциллятора, отражает динамическое равновесие сил в системе (второй закон Ньютона). Если разделить все члены этого уравнения на массу тела (M>0), то получим уравнение движения тела в неявных параметрах (коэффициентах пропорциональности), причем приняты два варианта представления коэффициента при x’

1) x” + 2n x’ + Po² x = a(t)

или

2) x” + 2ζ Po x’ + Po² x = a(t)

В данном случае наибольший интерес представляет первый вариант уравнения, где оба коэффициента имеют одинаковую размерность круговой частоты (рад/с), но разный физический смысл:

n = B / 2M — показатель затухания (степень экспоненты « e ^—nt » в уравнении затухающих колебаний)

Po = (C / M) ^0.5 — круговая частота свободных колебаний; fo = Po / 2 π — частота свободных колебаний в Гц

С их помощью могут быть получены все основные динамические параметры осциллятора.

P = (Po² — n²)^0.5 — частота затухающих (демпфированных) колебаний системы.

d = 2π n / P — логарифмический декремент колебаний.

k = d / 2 π — относительное демпфирование; также: k = n / P

Ψ = 2 k — коэффициент неупругого сопротивления; определяет соотношение амплитуд вязкой (при x = 0) и упругой (x’= 0) сил сопротивления.

На практике для расчетов спектров ответа требуется определять параметры каждого отдельного сейсмоосциллятора для заданной собственной частоты «Po» и относительного демпфирования «k». Для этих целей используется простое соотношение: n = k Po / (1 + k²) ^0.5, которое определяет недостающий коэффициент уравнения (1) для его численного интегрирования.

Коэффициент динамичности

В некоторых случаях требуется оценить уровень вынужденных (установившихся) колебаний осциллятора при кинематическом вибровозбуждении ускорением
a (t) = Ao sin (w t) , где « w » — круговая частота вибронагрузки . Безразмерный коэффициент динамичности « D » — есть соотношение амплитуд ускорений осциллятора «Xo”» и основания «Ao» при относительной частоте вибронагрузки ( Ro = w / Po ) и относительном демпфировании « k » :

D = 1 / { (1 — Ro²) ² + 4 (k Ro) ² / (1 + k ²) } ^0.5

Формула для расчета «D » по коэффициенту затухания «ζ », представленному в уравнении (2), получается несколько проще:

D = 1 / { (1 — Ro²) ² + 4 (ζ Ro) ² } ^0.5

Однако данных о коэффициенте затухания « ζ  », как о нормированной характеристике демпфирования для конструкций и материалов, в справочниках и Нормах практически не бывает. Приоритет отдается параметрам «d » и « k», которые взаимосвязаны между собой и могут быть получены непосредственно из экспериментов. Физический смысл коэффициента затухания выявляется из формулы, получаемой из соотношения параметров уравнения (2):

ζ = B / (2 M Po) = B / (4 C M) ^0.5

Эта величина есть ни что иное, как отношение фактической и критической вязкостей демпфера осциллятора, так как знаменатель в последней части формулы представляет собой значение коэффициента вязкого сопротивления демпфера, при достижении которого возникает апериодическое движение тела. Именно для коэффициента затухания « ζ  » уместно пояснение « в долях от критического», которое обычно приписывают в нормативных документах параметру « k » . Два этих параметра связаны между собой соотношением:

ζ = k / (1 + k ²) ^0.5

Как нетрудно заметить, при малых значениях « k», к каким относится и весь практический диапазон его значений (0.01—0.10), разница между этими параметрами мала.

Примечание

В статье намеренно упущены выводы и преобразования формул расчета основных параметров осциллятора, и даются лишь конечные их выражения для практических целей и общего представления. Надо отметить, что существует множество учебных пособий и монографий по курсу теории колебаний, где обязательно затрагиваются понятия систем с одной степенью свободы. Большинство из этих работ сложно рассматривать совместно из-за разобщенности обозначений, своеобразия изложения и различной целенаправленности. Здесь же в основном использовались следующие первоисточники.

1. Яблонский А. А., Норейко С. С., Курс теории колебаний. — М.: Высшая школа, 1975.
2. Пановко Я. Г., Основы прикладной теории колебаний и удара. — Л.: Политехника, 1990.