Ряд Дирихле

Рядом Дирихле называется ряд вида

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},$

где s и a_n — комплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число $\sigma_c$, что при $\operatorname{Re}\,s>\sigma_c$ он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число $\sigma_a$, что при $\operatorname{Re}\,s>\sigma_a$ ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение $0\leqslant\sigma_a-\sigma_c\leqslant 1$ (если $\sigma_c$ и $\sigma_a$ конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространённым примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана, а также L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Примеры

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},$

Где $\zeta(s)$ — дзета-функция Римана.

$\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$

где μ(n) — функция Мёбиуса.

$\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}$

где $L(\chi,s)$ — L-функция Дирихле.

$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^s}.$,

где Li_s(z) — полилогарифм.