Осциллятор Дуффинга

У этого термина существуют и другие значения, см. Осциллятор.

Отображение Пуанкаре для вынужденных колебаний осциллятора Дуффинга, демонстрирующее хаотическое поведение

Осциллятор Дуффинга (англ. Duffing oscillator) — простейшая одномерная нелинейная система. Представляет собой одномерную частицу, движущуюся в потенциале $U(x)=ax^2/2+bx^4/4$. При $b=0$ система сводится к обычному линейному осциллятору. Особенностью осциллятора Дуффинга является возможность получения хаотической динамики.

Уравнение движения для осциллятора Дуффинга имеет вид

$m\ddot{x} = ax +bx^3$,

где $x$ и $m$, соответственно — координата частицы и её масса. Уравнение впервые было изучено немецким инженером Георгом Дуффингом в 1918 году. Дискретная его версия известна как отображение Дуффинга (англ.)русск..

Зависимость амплитуды от частоты

В отсутствие диссипации (трения), гармонический (линейный) осциллятор, находящийся под действием внешней периодической силы $F = F_0 \cos (\omega t)$, испытывает резонанс, если частота этой силы $\omega$ совпадает с собственной частотой осциллятора $\omega_0 = \omega$. Вблизи резонанса осциллятор совершает колебания конечной амплитуды. Последняя пропорциональна $(\omega_0 - \omega)^{-2}$ и расходится точно в резонансе.

В отличие от линейного осциллятора, осциллятор Дуффинга под действием внешней периодической силы испытывает бистабильное поведение.

Литература

• Ivana Kovacic, Michael J Brennan The Duffing Equation : Nonlinear Oscillators and their Behaviour. — John Wiley & Sons, 2011. — ISBN 9780470715499
• M. Lakshmanan, K Murali Chaos In Nonlinear Oscillators: Controlling And Synchronization. — World Scientific, 1996. — Vol. 13. — P. 35—90. — 340 p. — (World Scientific Series on Nonlinear Science Series A). — ISBN 978-981-02-2143-0

Ссылки

• Осциллятор Даффинга на Сколарпедии