Задача о разрезанном треугольнике (частях треугольника)

Задача о разрезанном треугольнике (частях треугольника)

Разрезанный треугольник

«Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией

Задача о треугольнике (разрезанном треугольнике, частях треугольника) — известная оптическая иллюзия. Из одних и тех же частей составлены два прямоугольных треугольника 13×5, но в одном из них есть дыра размером 1×1.

Условие

Перестановка частей

Дан треугольник, составленный из 4частей (на рис). После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется новый, не занятый ни одной частью, квадрат.

Решение

Секрет в том, что синий и красный треугольники имеют неравные углы, что визуально незаметно из-за слишком малой разницы. Поэтому на первом рисунке создаётся излом внутрь, а на втором — наружу. Это легко проверить наложением и вычислениями.

Площадь каждого треугольника 13×5 не равна площади частей, из которых они составлены.

Действительно, общая площадь четырёх частей (жёлтой, красной, синей и зелёной) равна 32 кв. ед., а площадь треугольника 13×5 равна 32,5 кв. ед. Отношение длин катетов синего треугольника 5:2, а красного — 8:3, поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы. Гипотенузы в обоих треугольниках 13×5 на самом деле являются ломаными линиями. Если наложить треугольники 13×5 друг на друга, то между их гипотенузами образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь.

По словам Мартина Гарднера, эту задачу изобрёл иллюзионист-любитель из Нью-Йорка Пол Карри в 1953. Однако принцип, заложенный в неё, был известен ещё в 1860-е годы.

Длины сторон фигур из данной задачи (2, 3, 5, 8, 13) являются последовательными числами Фибоначчи. Многие другие задачи на перестановку фигур, подобные этой, основаны на свойствах последовательности чисел Фибоначчи.

Вообще, данные фигуры не являются треугольниками. Они представляют собой соответственно выпуклый и вогнутый четырёхугольники.

Исчезающий квадрат

Маленький квадрат «исчезает» при перестановке частей

В другой головоломке, основанной на таком же принципе, большой квадрат составлен из четырёх четырёхугольников и маленького квадрата. Если четырёхугольники развернуть, то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого квадрата визуально не изменится.

Этот парадокс объясняется тем, что сторона нового большого квадрата немного меньше, чем сторона того, который был в самом начале. Если длина стороны большого квадрата a и θ — угол между двумя противоположными сторонами в четырёхугольнике, то площадь большого квадрата после перестановки частей изменится в sec²θ − 1 раз. При $\theta = 5^\circ$, разность между площадями составляет приблизительно 0,8 %.