Гипотеза Биля

Гипотеза Биля — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма. Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билем, который учредил премию в 100 000 долларов США за её доказательство или опровержение.

Формулировка

Если

$A^x+B^y=C^z,$

где $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ — натуральные и $x,\;y,\;z>2$, то $A,\;B,\;C$ имеют общий простой делитель.

Связь с великой теоремой Ферма

При условии справедливости гипотезы Биля великую теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа n > 2 и A, B, C такие, что $A^n+B^n=C^n$, причем C — минимально возможное. Тогда гипотеза Биля для x = y = z = n влечёт, что существует простое число p делящее каждое из чисел A, B и C. Но тогда $(A/p)^n+(B/p)^n=(C/p)^n$, что противоречит минимальности выбора C. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел n, A, B, C не существует, то есть, великая теорема Ферма доказана.

Текущее состояние

Гипотеза Биля проверена для случая, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000.^[1]

Примечания

1. ↑ Beal’s Conjecture: A Search for Counterexamples (англ.)

Ссылки

• The Beal Conjecture
• The Beal Conjecture and Prize
• R. Daniel Mauldin (1997). «A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem». Notices of the AMS 44 (11): 1436-1439.
• Beal's Conjecture (англ.) на сайте PlanetMath.

Для улучшения этой статьи желательно?: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).