Вариация функционала

Вариация функционала, или первая вариация функционала — обобщение понятия дифференциала функции одного переменного, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления. Понятие используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в этот термин, начиная с работы 1762 года Ж. Лагранжа^[1]. Ж. Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления (действие) вида:

$J(x)=\int\limits_{t_0}^{t_1}L(t,\;x(t),\;\dot x(t))\,dt.\qquad(*)$

Формальное определение

Рассмотрим изменение функционала (*) от одной точки функционального пространства к другой (от одной функции к другой). Для этого сделаем замену $x(t)\mapsto x_1(t)-x(t)$ и подставим в выражение (*). При допущении о непрерывной дифференцируемости $L$ имеет место равенство, аналогичное выражению для дифференциала функции:

$J(x_1)=J(x)+L(\delta x)+\varepsilon r(x,\;x_1),$

где остаточный член $|r(x,\;x_1)|\to 0$ — расстояние между функциями и $\varepsilon\to 0$, а $\delta x(t)=x_1(t)-x(t)$. При этом линейный функционал $L(\delta x)$ называется (первой) вариацией функционала $J(x)$ и обозначают через $\delta J$.

Применительно к функционалу (*) для первой вариации имеет место равенство с точностью до величины порядка высшего, чем $|r(\delta x)|$:

$\delta J(x)=\int\limits_{t_0}^{t_1}(p(t)\,\delta x+q(t)\,\delta\dot x)\,dt,$

где

$p(t)=L_x(t,\;x(t),\;\dot x(t)),\;q(t)=L_{\dot x}(t,\;x(t),\;\dot x(t)).$

Равенство нулю первой вариации для всех $\delta x$ является необходимым условием экстремума функционала $J(x)$. Для функционала (*) из этого необходимого условия и основной леммы вариационного исчисления следует уравнение Эйлера:

$-\frac{d}{dt}L_{\dot x}(t,\;x(t),\;\dot x(t))+L_x(t,\;x(t),\;\dot x(t))=0.$

Аналогичным образом определяются вариации более высоких порядков.

Общее определение первой вариации в бесконечномерном анализе было дано французским математиком Рене Гато (англ.)русск. в 1913 году. По сути своей определение Гато тождественно с определением Лагранжа^[2].

Первая вариация функционала является однородным, но не обязательно линейным функционалом, вариация функционала при дополнительном предположении о линейности и непрерывности (по $\delta x$) выражения $\delta J(x,\;\delta x)$ обычно называется производной Гато. В современной математике термины «вариация Гато», «производная Гато», «дифференциал Гато» более употребимы, чем вариация функционала^[3]. При этом термин «вариация функционала» сохраняется лишь для функционалов классического вариационного исчисления.

Литература

• Лаврентьев, M. А., Люстерник, Л. А. Курс вариационного исчисления. — в 2-х тт. — 2-е изд. — М.—Л.: ОНТИ, 1953.

Примечания

1. ↑ Lagrange J. Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies. — Turin, 1762.
2. ↑ Gateaux R. Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1919. — t. 47. — p. 70—96.
3. ↑ Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 1140 с.