RANDU

Распределение в трёхмерном пространстве 100 000 точек, полученных алгоритмом RANDU. Можно видеть, что точки расположены на 15 плоскостях.

RANDU — печально известный линейный конгруэнтный генератор псевдослучайных чисел, вошедший в употребление в 1960-х. Он определяется рекуррентным соотношением:

$V_{j+1} \equiv (65539 V_j) \mod 2^{31}\,$

где $V_0$ нечётное.

Псевдослучайные числа вычисляются следующим образом:

$X_{j} \equiv V_{j} / 2^{31}\,$

Популярно мнение, что данный алгоритм — один из наименее продуманных генераторов псевдослучайных чисел среди когда-либо предложенных. Так, он не проходит спектральный тест при количестве измерений, превышающем 2.

Основанием для выбора параметров генератора послужило то, что в рамках целочисленной 32-битной машинной арифметики операции по модулю $2^{31}$, в частности, умножение произвольного числа на $65539=2^{16}+3$, выполняются эффективно. В то же время, такой выбор обладает и принципиальным недостатком. Рассмотрим следующее выражение (будем полагать, что все операции выполняются по модулю $2^{31}$):

$x_{k+2}=(2^{16}+3) x_{k+1}=(2^{16}+3 )^2 x_{k}\,$

откуда, раскрыв квадратичный сомножитель, получаем:

$x_{k+2}=(2^{32}+6 \cdot2^{16} +9 )x_{k}=[6 \cdot (2^{16}+3)-9]x_{k}\,$

что, в свою очередь, показывает наличие линейной зависимости (а следовательно, и полной корреляции) между тремя соседними элементами последовательности:

$x_{k+2}=6x_{k+1}-9x_{k}\,$

Как следствие корреляции, точки в трёхмерном пространстве, координаты которых получены по данному алгоритму, располагаются на сравнительно небольшом количестве плоскостей (в приведённом примере — на 15 плоскостях).^[1]

Пример

Пример псевдослучайной последовательности, порождаемой алгоритмом RANDU при начальном значении $V_0=1$:

            1
        65539
       393225
      1769499
      7077969
     26542323
     95552217
    334432395
   1146624417
   1722371299
     14608041
          ...
    134633675
   1893599841
   1559961379
    907304297
   2141591611
    388843697
    238606867
     79531577
    477211307
            1

Цитаты

Его истинное название — RANDU (похоже на «random» — «случайный» — Прим. ред.), и этого достаточно, чтобы вызвать испуг в глазах и спазмы в желудке у многих учёных, специализирующихся на компьютерах!^[2]

Оригинальный текст  (англ.)  

…its very name RANDU is enough to bring dismay into the eyes and stomachs of many computer scientists!^[3]

Один из нас вспоминает, что получил однажды графическое изображение «случайной» последовательности, состоящее всего из 11 плоскостей. В ответ на это консультант вычислительного центра по программированию заявил, что генератор случайных чисел использовался неверно: «Мы гарантируем, что каждое число случайно само по себе, но не гарантируем того же для большего их количества». Попробуйте такое понять.

Оригинальный текст  (англ.)  

One of us recalls producing a «random» plot with only 11 planes, and being told by his computer center’s programming consultant that he had misused the random number generator: «We guarantee that each number is random individually, but we don’t guarantee that more than one of them is random». Figure that out.^[4]

Примечания

1. ↑ George Marsaglia. Random Numbers Fall Mainly in the Planes // Proc National Academy of Sciences : журнал. — сентябрь 1968. — Т. 61. — № 1. — С. 25—28.
2. ↑ Дональд Кнут. Глава 3.3. Спектральный критерий // Искусство программирования = The Art of Computer Programming. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — Т. 2. Получисленные алгоритмы. — С. 129—130. — 832 с. — ISBN 5-8459-0081-6 (русс.) ISBN 0-201-89684-2 (англ.)
3. ↑ Donald E. Knuth. The Art of Computer Programming. — 3rd ed. — Boston: Addison-Wesley, 1998. — Т. 2. Seminumerical Algorithms.
4. ↑ William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. — 2nd ed. — Cambridge University Press, 1992. — P. 277. — ISBN 0-521-43108-5