Первичный идеал

Первичным идеалом $I$ кольца $A$ называется всякий идеал (не совпадающий со всем кольцом) такой, что факторкольцо по нему первично.

Это определение может быть переформулировано в терминах свойств элементов самого кольца: если два элемента $a,b\in A$ таковы, что $\forall r\in A; arb\in I$, то или $a\in I$ или $b\in I$. Если это свойство выполнено для всех элементов кольца и идеал $I$ не совпадает со всем кольцом $A$, то идеал $I$ первичен.

В коммутативных кольцах понятие первичного идеала совпадает с понятием простого идеала: идеал является первичным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему является областью целостности.

В математике первичным идеалом называется подмножество кольца, которое обладает некоторыми важнейшими свойствами простого числа в кольце целых чисел.