Циклотронная масса

Циклотронная эффективная масса — эффективная масса электрона или дырки, возникающая при движении носителей в магнитном поле. В общем случае эта масса не совпадает с эффективной массой носителей, поскольку поверхность Ферми может быть анизотропной и эффективная масса принимать вид тензора. Циклотронную эффективную массу измеряют с помощью метода циклотронного резонанса или магнитотранспортных методах (эффект Шубникова — де Гааза). Знание циклотронной массы позволяет восстановить форму поверхности Ферми в твёрдом теле.

Теория для кремния^[1]

Поверхность Ферми кремния, который является непрямозонным полупроводником, состоит из шести эллипсоидов вращения в k-пространстве. Рассмотрим сечение поверхности Ферми плоскостью XZ такое, что в этой плоскости будут находиться 4 вытянутых эллипса с центрами расположенными на осях на расстоянии $k_0$. Пусть вектор магнитного поля $\mathbf{B}$ лежит в этой плоскости и образует угол $\theta$ с осью Z. Анизотропный закон дисперсии для электронов имеет вид

$\varepsilon=\frac{\hbar^2}{2}\left(\frac{k_x^2+k_y^2}{m_t}+\frac{(k_z-k_0)^2}{m_l}\right),$

где введены две разные эффективные массы $m_t$, $m_l$, называемые соответственно продольной и поперечной эффективными массами. Уравнение движения частицы (второй закон Ньютона) с зарядом «-e» в магнитном поле $\mathbf{B}$ в отсутствие затухания

$\hbar\frac{d\mathbf{k}}{dt}=-e\mathbf{v}\times \mathbf{B},$

где $\mathbf{k}$ — волновой вектор, а скорость частицы $\mathbf{v}$ определяется выражением

$\mathbf{v}=\frac{1}{\hbar}\nabla_k\varepsilon=\left(\frac{\hbar k_x}{m_t},\,\frac{\hbar k_y}{m_t},\,\frac{\hbar (k_z-k_0)}{m_l}\right).$

Теперь распишем покомпонентно закон движения

$\hbar\frac{dk_x}{dt}=-\frac{e\hbar Bk_y}{m_t}\cos{\theta},$

$\hbar\frac{dk_y}{dt}=\frac{e\hbar Bk_x}{m_t}\cos{\theta}-\frac{e\hbar B(k_z-k_0)}{m_l}\sin{\theta},$

$\hbar\frac{dk_z}{dt}=\frac{e\hbar Bk_y}{m_t}\sin{\theta}.$

Нас будет интересовать только решения вида

$k_x=k_1e^{i\omega t},\,k_y=k_2e^{i\omega t},\,k_z=k_0+k_3e^{i\omega t}.$

Это решение существует при определённой частоте называемой циклотронной, которая зависит от угла:

$\omega_c=eB\left(\frac{\sin^2{\theta}}{m_lm_t}+\frac{\cos^2{\theta}}{m_t^2}\right)^{1/2}.$

Здесь можно определить циклотронную эффективную массу как

$m_c=eB/\omega_c.$

Видно, что если угол равен нулю, то $m_c=m_t$, а если угол прямой: $m_c=\sqrt{m_lm_t}$.

Общий случай

В общем случае^[2] для произвольной поверхности Ферми, например в металлах поверхность Ферми может принимать сложную форму нужно использовать следующую формулу для циклотронной частоты

$\omega_c=\frac{2\pi eB}{\hbar^2}\frac{d\varepsilon}{dA_k}$

и циклотронной эффективной массы

$m_c=\frac{\hbar^2}{2\pi}\frac{dA_k}{d\varepsilon},$

где $A_k$ — площадь поверхности Ферми.

Случай параболической зоны

Для простейшей изотропной параболической зоны (по Ридли) энергию и площадь можно представить в виде следующих функций от волнового вектора:

$\varepsilon_k = \frac{\hbar k^2}{2m^*} \$

$A_k = \pi k^2 \$.

В этом случае производная от энергии по площе будет иметь простейший вид:

$\frac{d\varepsilon_k}{dA_k} = \frac{\hbar^2}{2\pi m^*} \$.

Подставляя полученное значение для производной в формулу для эффективной массы, находим:

$m_c = \frac{\hbar^2}{2\pi}\cdot \frac{dA_k}{d\varepsilon_k} = m^*$.

Таким образом, в случае простой изотропной параболической зоны мы будем иметь тождественность физических величин - "циклотронной массы" и "эффективной массы". Данное обстоятельство и позволяет в большинстве практических случаев измерять эффективную массу носителей в твердом теле.

Циклотронная скорость

В общем случае циклотронная скорость записывается в следующем виде:

$v_c = \omega_c \cdot r_c = eB\cdot \frac{r_c}{m_c} \$,

где в случае традиционных техмерных полупроводников циклотронный радиус и масса определяются как:

$r_c(Si) = \sqrt{2}l_B \$, $m_c(Si) = const. \$,

а в случае двумерного графена:

$r_c(Si) =\frac{l_B}{\sqrt{2}} \$, $m_c(C) = variable \$,

где $l_B = \sqrt{\frac{\hbar}{eB}} \$- магнитная длина. Таким образом, в обычном трехмерном полупроводнике, в котором выполняется условие постоянной эффективной массы, мы будем иметь переменное значение для циклотронной скорости (например, в КЭХ):

$v_c(Si) = \sqrt{2}\omega_c l_B = variable \$.

Другое дело - двумерный графен. Поскольку эффективная масса его носителей изменяется, то его циклотронная скорость всегда постоянна:

$v_c(C) = \frac{\omega_c l_B}{\sqrt{2}} = v_B = const. \$

Именно поэтому мы и можем через неё определить и циклотронную частоту:

$\omega_c(C) = \sqrt{2}\frac{v_B}{l_B}$

и циклотронную массу:

$m_c(C) = eB\cdot \frac{r_c(C)}{v_c(C)} = \frac{1}{v_B}\sqrt{\frac{eB\hbar}{2}}$.

Таким образом, за пределами рассмотрения элементов зонной структуры и циклотронной массы, осталась постоянная скорость $v_B$. Откуда она взялась, и какой её масштаб?

Экспериментальное обоснование постоянства циклотронной скорости в графене ^[3]

Наиболее точное значение постоянной скорости носителей тока в графене было найдено Диаконом и др. в экспериментах по отклику фотопроводимости на образцах графена с несколькими уровнями Ландау. Это экспериментальное значение скорости для различных уровней Ландау находилось в диапазоне значений:

$v_{B.exp} = (1.069 - 1.118)\cdot 10^6 m/s$.

Не трудно заметить, что посредине этого диапазона находится единственная физическая величина скорости, которая называется боровской, поскольку определяет скорость циклического движения электрона на первой боровской орбите атома Бора:

$v_B = \frac{\alpha c}{2} = 1.0938453 \cdot 10^6 m/s$.

В настоящее время равенство этих скоростей

$v_B = v_{B.exp} \$

выполняется с точностью до двух процентов:

$\Delta = \pm 2.2%$.

Безусловно в дальнейшем оно возрастет, хотя насколько, пока неизвестно.

Невозможность релятивизма в графене

Итак, в графене квазичастиицы рождаются парами (одна квазичастица и одна квазидырка). Суммарная энергия пары квазичастиц равна в рамках параболического зонного подхода:

$W_{\Sigma} = W_{ce} + W_{cp} = \frac{m_{ce}v_{ce}^2}{2} + \frac{m_{cp}v_{cp}^2}{2} = m_c(C)v_B^2 \$

где учтено равенство циклотронных масс и скоростей для квазичастиц и квазидырок:

$m_{ce} = m_{cp} = m_c(C) \$

$v_{ce} = v_{cp} = v_B \$.

Очевидно, что это типичное нерелятивистское соотношение для рождающейся пары частиц. Действительно, в релятивистском случае (даже не учитывая того, что скорость квазичастиц в 274 раза меньше световой), должно было бы быть:

$W_{\Sigma} = 2\cdot m_c(C)v_B^2$,

т.е. величина в 2 раза большая, чем имеется. Вот этой тривиальной двойки и не хватило для учета релятивистских эффектов.

Особенность зонной структуры в графене

Основной особенностью графена является то, что в отсутствие внешних полей в нём присутствует только одна пара квазичастиц, которая занимает всю двумерную площадь графена.

См. также

• Циклотронный резонанс

Примечания

1. ↑ Hook J. R. pp. 158-159.
2. ↑ Hook J. R. p. 375.
3. ↑ R.S. Deacon, K-C. Chuang, R. J. Nicholas, K.S. Novoselov, and A.K. Geim. "Cyclotron Resonance study of the electron and hole velocity in graphene monolayers". arXiv:0704.0410v3

Литература

1. Hook J. R., Hall H. E. Solid State Physics. — 2-nd ed.. — Chichester: John Wiley & Sons, 1997. — С. 158-159. — 474 с. — ISBN 0-471-92805-4
2. Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. — Москва: Мир, 1986. — С. 63-64. — 304 с. — ISBN УДК 537.33+535.2

Ссылки

• Физическая энциклопедия, т.5 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.429