Ренормализационная группа

Ренормализационная группа в квантовой теории поля — группа физически эквивалентных, но по-разному записываемых перенормировок.

Как и для подавляющего большинства групп в физике, причиной введения ренормализационной группы явилось наблюдение некоторой симметрии в задаче. Симметрия заключается в том, что разбиение перенормированного лагранжиана на затравочный лагранжиан ($\mathcal{L}_0$) и контрчлены ($\mathcal{L}_{c.t.}$) произвольно и не скажется на предсказаниях теории относительно физически наблюдаемых величин. Например, для случая простейшей скалярной теории с самодействием, физически эквивалентными будут следующие разбивки массового члена лагранжиана:

$\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_{c.t.} = {1 \over 2}m_0\cdot \phi^2 + {1 \over 2}\delta m \cdot \phi^2$

и

$\mathcal{L} = \overline{\mathcal{L}_0} + \overline{\mathcal{L}_{c.t.}} = {1 \over 2}\overline{m_0}\cdot \phi^2 + {1 \over 2}\overline{\delta m} \cdot \phi^2 \equiv {1 \over 2}(m_0+m_1)\phi^2 + {1 \over 2}(\delta m - m_1)\phi^2$

Сам по себе переход $m_0 \to \overline{m_0}$ с одновременным $\delta m \to \overline{\delta m}$ на физических наблюдаемых не сказывается (в этом и заключается симметрия). Однако если в задаче присутствует какой-либо энергетический масштаб, например энергия столкновений, то при аналогичном его изменении «константы» взаимодействия сдвинутся. Эту эволюцию бегущих констант как раз наиболее прозрачно можно получить с помощью уравнений ренормализационной группы.

Ренормализационная группа в физике твердого тела

В физике твёрдого тела ренормализационная группа используется для построения математических моделей фазовых переходов. Разложим в ряд Тейлора приращение энергии в зависимости от локальной намагниченности $\Delta E = a \bar{m^2} + b \bar{m^4}$. В критической области коэффициент b играет важную роль, поскольку a стремится к нулю. Локальная намагниченность раскладывается в ряд Фурье, как сумма бесконечного числа синусоидальных волн с различными волновыми векторами и частотами. Кванты волн намагниченности называются флуктуонами. Подобно квантам световых волн фотонам флуктуоны обладают энергией $\omega$ и импульсом $\hbar \bar{k}$. Флуктуоны в ферромагнетике взаимодействуют, рассеиваясь друг на друге. Процессы рассеяния флуктуонов удобно вычислять при помощи диаграмм Фейнмана. На этих диаграммах линиям соответcтвуют движущиеся частицы (флуктуоны), а точкам - их столкновения. Реальная сила взаимодействия флуктуаций называется эффективной константой связи g. Разрезаем диаграмму Фейнмана процессов рассеяния два в два на том месте где проходят две промежуточные частицы. Рассмотрим справа все возможные блоки, изображающие процессы рассеяния два в два. После суммирования правую часть представляет сумма с бесконечным числом членов, которые представляют константу g. Рассмотрим слеа все возможные блоки, изображающие процессы рассеяния два в два. После суммирования левую часть представляет сумма с бесконечным числом членов, которые представляют константу g. В результате вместо бесконечного набора слагаемых, каждое из которых зависит от константы связи b, приходим к одному члену, зависящему от константы g. Такая процедура замены одной константы связи на другую называется перенормировкой. Метод ренормализационной группы позволяет объяснить независимость вида критических асимптотик от материала и физической природы фазового перехода.

См. также

• Перенормировка

Ссылки

• Ренормализационная группа на arxiv.org
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. 7 изданий на 4 языках. 4-е изд. — М.: Наука, 1984.
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. (5-е изд) — М.: Физматлит, 2005. ISBN 5-9221-0580-9.
• Shirkov D. V. The Bogoliubov Renormalization Group.  (англ.).
• Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — СПб.: издательство ПИЯФ, 1998. (переведена на английский язык)
• Соколов А.И. Критические флуктуации и ренормализационная группа. // Соросовский образовательный журнал, 2000, № 12, с. 98;