Теплоёмкость электронного газа

Теплоёмкость электронного газа — количество теплоты, которую необходимо передать электронному газу для того, чтобы повысить его температуру на 1 К. Она намного меньше по величине при высоких температурах, чем теплоёмкость кристаллической решётки.

Вырожденный газ

Для вырожденного электронного газа в металлах теплоёмкость определяется формулой

$c_V^e = \frac{\sqrt{2}}{3} \frac{m^{*3/2}}{\hbar^3} \mu_0^{1/2} k_B^2 T$,

где $m^*$ — эффективная масса электронов, $\hbar$ — приведённая постоянная Планка, $k_B$ — постоянная Больцмана, $\mu_0$ — энергия уровня Ферми, T — температура.

Теплоёмкость стремится к нулю при малых температурах, удовлетворяя теореме Нернста и линейно возрастает с температурой. Поскольку теплоёмкость кристаллической решётки при низких температурах пропорциональная кубу температуры (см. закон Дебая), то существует область низких температур, при которых теплоёмкость электронов больше чем теплоёмкость решётки. Однако при более высоких температурах, чем температура Дебая, вклад электронной подсистемы в общую теплоёмкость твёрдого тела не превышает нескольких процентов. Для этих температур справедливо

$\frac{c_V^e}{c_V^L} \approx \frac{k_bT}{\mu_0}$,

где $c_V^L$ — теплоёмкость кристаллической решётки.

Объясняется такое соотношение тем, что вклад в электронную теплоёмкость вносят лишь те электроны, которые имеют энергию, близкую к энергии Ферми. Электроны с энергиями, намного низшими чем энергия уровня Ферми, не могут получать тепло, поскольку для увеличения энергии им нужно было бы перейти на близкие энергетические уровне внутри зоны, уже занятые другими электронами. Из-за принципа Паули переход в занятое другим электроном состояние невозможен.

Невырожденный электронный газ

В собственных полупроводниках электронный или дырочный газ в, соответственно, зоне проводимости или валентной зоне, невырожденный. Электрон или дырка могут менять свою энергию поскольку их концентрация имеет сравнимое с количеством свободных состояний. Однако таких электоронов или дырок в собственном полупроводнику немного, поэтому, хотя вклад каждого из них в теплоёмкость по закону равнораспределения равняется $\frac{3k_B}{2}$, эти квазичастцы образуются лишь при переходе электрона из валетной зоны в зону проводимости. Вероятность такого перехода пропорциональна $\exp(-\frac{E_g- \mu}{k_BT})$, где $E_g$ — ширина запрещённой зоны, а $\mu$ — химический потенциал. При высоких температурах $\mu \approx E_g/2$. Поскольку $E_g \gg k_BT$ вклад электронов и дырок в теплоёмкость незначительна. Её можно оценить по формуле

$c_V^e = k_B n_i \exp(- E_g/2k_BT) \left(\frac{15}{2} + 3 \frac{E_g}{k_BT} + \frac{1}{2} \left(\frac{E_g}{k_BT} \right)^2 \right)$

См. также

• Модель Дебая

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.