Вынужденные колебания

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: $F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right)$.

Вынужденные колебания гармонического осциллятора

Консервативный гармонический осциллятор

Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде: $ma = -kx + F_0 \cos\left(\Omega t\right)$. Если ввести обозначения: $\omega_0^2=\frac km, \quad \Phi_0=\frac{F_0}{m}$ и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

$\ddot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos (\Omega t)$

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

$x(t) = A \sin\left(\omega_0 t + \varphi\right)$,

где $A, \phi$ — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: $x(t)=B \cos \left(\Omega t \right)$ и получим значение для константы:

$B = \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}$

Тогда окончательное решение запишется в виде:

$x(t)= A \sin\left(\omega_0 t + \phi\right) + \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}\cos\left(\Omega t \right)$

Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания

Резонанс

Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: $x(t)=t \left(A \cos \left(\Omega t \right) + B \sin \left(\Omega t \right)\right)$. Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что :

$A = 0 \qquad B = \frac{\Phi_0}{2\Omega}$

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

$x(t) = \frac{\Phi_0}{2\Omega} t \sin \left(\Omega t \right)$

Затухающий гармонический осциллятор

Второй закон Ньютона:

$ma = -kx - \alpha v + F_0 \cos\left(\Omega t\right)$.

Переобозначения:

$\omega_0^2=\frac km, \qquad \Phi_0=\frac{F_0}{m}, \qquad \zeta = \frac {\alpha}{2\sqrt{k m}}$

Дифференциальное уравнение:

$\ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right)$

Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного. Анализ однородного уравнения приведён здесь. Получим и проанализируем частное решение.

Запишем вынуждающую силу следующим образом: $\Phi_0 \cos \Omega t = \Phi_0 Re\, e^{-i\Omega t}$, тогда решение будем искать в виде: $x(t)=A e^{-i\Omega t}, \text{где} A \in \mathbb C$. Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для A:

$A=\frac{\Phi_0}{\omega_0^2-\Omega^2 - 2i\beta\Omega}=\frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\beta\Omega\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\beta^2\Omega^2}=|A|e^{-i\varphi}$

где $|A|=\frac{\Phi_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\beta^2\Omega^2}}, \qquad \varphi=-\arctan\frac{2\beta\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2}$

Полное решение имеет вид:

$x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t )) + Re\left[\frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\beta\Omega\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\beta^2\Omega^2} e^{-i\Omega t}\right]$,

где $\omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 }$ — собственная частота затухающих колебаний.

Константы $c_1$ и $c_2$ в каждом из случаев определяются из начальных условий: $\left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& x_0 \\ \dot{x}(0) &=& v_0 \end{array}\right.$

В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.

Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при $t\, \to\, \infty$, то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:

$x(t \to \infty)=\Phi_0 \frac{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)\cos{\Omega t}+2\beta\Omega\sin{\Omega t}}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\beta^2\Omega^2} = \frac{\Phi_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4 \zeta^2\omega_0^2 \Omega^2 }} \cos (\Omega t - \varphi )$

Это означает, что при $t\, \to\, \infty$ система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.

Работа, совершаемая вынуждающей силой $F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right)$ за время $dt\$, равна $F dx\$, а мощность $P = F \frac{dx}{dt}$. Из уравнения

$\ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right)$

следует, что

$P(t) = F \dot x = ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x )m \dot x$

Если учесть, что при установившихся вынужденных колебаниях

$x\, = A\, \cos ( \Omega t - \varphi )$

$\dot x = - A \Omega \sin ( \Omega t - \varphi )$

$\ddot x = - A \Omega ^2 \cos ( \Omega t - \varphi )$

то тогда средняя за период $T = \frac{2 \pi }{ \Omega }$ мощность:

$P = \frac{m}{T} \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2$

Работа за период

$W = m \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2 T =2\pi A^2 m \zeta\omega_0 \Omega$

Литература

• Бутиков Е.И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие. Архивировано из первоисточника 11 марта 2012.
• Рабинович М.И. Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.

См. также

• Гармонический осциллятор
• Затухающие колебания

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Добавить иллюстрации.