Список интегралов от логарифмических функций

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от логарифмической функции. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов.

Замечание: в этой статье предполагаются $\mathcal{8} x>0$. Аддитивная константа опущена.

$\int\ln cx\,dx = x\ln cx - x$

$\int (\ln x)^2\; dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x$

$\int (\ln cx)^n\; dx = x(\ln cx)^n - n\int (\ln cx)^{n-1} dx$

$\int \frac{dx}{\ln x} = \ln|\ln x| + \sum^\infty_{i=1}\frac{(\ln x)^i}{i\cdot i!}$

$\int \frac{dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{(\ln x)^{n-1}}$ для $\! n\neq 1$

$\int x^m\ln x\;dx = x^{m+1}\left(\frac{\ln x}{m+1}-\frac{1}{(m+1)^2}\right)$ для $\! m\neq -1$

$\int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^m (\ln x)^{n-1} dx$ для $\! m\neq -1$

$\int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x} = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1}$ для $\! n\neq -1$

$\int \frac{\ln x\,dx}{x^m} = -\frac{\ln x}{(m-1)x^{m-1}}-\frac{1}{(m-1)^2 x^{m-1}}$ для $\! m\neq 1$

$\int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x^m} = -\frac{(\ln x)^n}{(m-1)x^{m-1}} + \frac{n}{m-1}\int\frac{(\ln x)^{n-1} dx}{x^m}$ для $\!m\neq 1$

$\int \frac{x^m\; dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{m+1}{n-1}\int\frac{x^m dx}{(\ln x)^{n-1}}$ для $\!n\neq 1$

$\int \frac{x^m dx}{\ln x} = \mathrm{Ei} \left( \left( m+1 \right) \ln x \right)$,

где Ei(x) — интегральная экспонента

$\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|$

$\int \frac{dx}{x^n\ln x} = \ln|\ln x| + \sum^\infty_{i=1} (-1)^i\frac{(n-1)^i(\ln x)^i}{i\cdot i!}$

$\int \frac{dx}{x (\ln x)^n} = -\frac{1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}},$ для $\! n\neq 1$

$\int \sin (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) - \cos (\ln x))$

$\int \cos (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) + \cos (\ln x))$