Теорема Дирихле о рядах

Теорема Дирихле о рядах

Пусть $f_k :{\Bbb C} \to {\Bbb C}(k = \overline {1,n} ),g_k :{\Bbb C} \to {\Bbb C}(k = \overline {0,n} )$. Тогда $\forall z \in {\Bbb Z}$ справедливо тождество Абеля $\sum\limits_{k = 1}^n {f_k } (z)(g_k (z) - g_{k - 1} (z)) = f_n (z)g_n (z) - f_1 (z)g_0 (z) - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {g_k } (z)(f_{k + 1} (z) - f_k (z))$ (1) Пусть $\forall z \in {\Bbb Z}$ последовательность комплексных чисел (f_n(z)) бимонотонная. Если $\left\| {\sum\limits_{k = 1}^n {\phi _k } } \right\| = O(1)$ и $\left\| {f_n } \right\| = o(1)$, (8) то ряд $\sum {f_n \phi _n }$ равномерно сходится. Полагаем $\forall n \in \mathbb{N} g_n = \sum\limits_{k = 1}^n {\phi _k }$. Так как $sup\left\| {g_k } \right\|sup\left\| {f_k - f_n } \right\| = O(1)o(1)$, то ряд $\sum {g_n } (f_{n + 1} - f_n )$ сходится равномерно. Кроме того, $\left\| {f_n g_n } \right\| \le \left\| {f_n } \right\|\left\| {g_n } \right\| = o(1)O(1) = o(1)$ По теореме 2 ряд $\sum {f_n \phi _n }$ сходится равномерно.

Автор: Лежён-Дирихле, Петер Густав

Источник

А.К.Боярчук "Функции комплексного переменного: теория и практика" Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. - 352с.