Лемма Шварца

Формулировка

Пусть $\Delta=\{z:|z|<1\}$ — единичный круг на комплексной плоскости $\mathbb C$. Далее, пусть функция $f$ аналитична в $\Delta$ и удовлетворяет двум условиям:

1. $f(0)=0$;
2. $f(\Delta)\subset\overline{\Delta}$, или, что равносильно, $|f(z)|\leqslant 1$.

Тогда:

1. $|f(z)|\leqslant|z|$ в $\Delta$ для ненулевого $z$;
2. $|f'(0)|\leqslant 1$.

Более того, оба эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда функция имеет вид $f(z)=e^{i\varphi}z$ , то есть она сводится к повороту.

Вариации и обобщения

• Лемма Шварца применением к исходному кругу дробно-линейного отображения автоматически ведёт к более общему утверждению — теореме Шварца — Пика.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.