Принцип симметрии Шварца

Формулировка

Принцип симметрии в основном применяется для аналитического продолжения функций, которые аналитичны на некотором множестве $G\subset\mathbb C.$ Далее, пусть множество $F=\partial G\cap\mathbb R$ непусто, и на этом множестве функция принимает исключительно вещественные значения.

Тогда можно осуществить аналитическое продолжение функции $f$ с множества $G$ на большее множество $G\cup\overline{G}$, где $\overline{G}=\{z:\overline{z}\in G\}$, с помощью следующей функции:

$F(z)=f(z)$ при $z\in G$

$F(z)=\overline{f(\overline{z})}$ при $z\in\overline{G}$

Пользуясь принципом соответствия границ, можно доказать более общее утверждение, которое обычно фигурирует в специальной литературе под тем же названием.

Обобщение

Допустим, что заданы области $G_1,G_2\subset\mathbb C$, далее, $\gamma_1\subset G_1,\gamma_2\subset G_2$ — дуги окружностей. Обозначим через $G_1^*$ область, которая симметрична $G_1$ относительно $\gamma_1$, аналогично определяется $G_2^*$. Теперь, если $f$ конформно отображает $G_1$ на $G_2$, притом $f(\gamma_1)=\gamma_2$, тогда $f$ может быть аналитически продолжена до конформного отображения $G_1\cup\gamma_1\cup G_1^*$ на $G_2\cup\gamma_2\cup G_2^*$.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.