Интерполяционная формула Гаусса

Интерполяционная формула Гаусса — формула, использующая в качестве узлов интерполяции ближайшие к точке интерполирования x узлы. Если $~x=x_0+th$, то формула

$G_{2n+1}(x_0+th)=f_0+f^{1}_{1/2}t+f^{2}_0{t(t-1) \over 2!}+\ldots + f^{2n}_0 {t(t^2-1) \ldots [t^2-(n-1)^2](t-n) \over (2n)!},\qquad (1)$

написанная по узлам $x_0,~x_0+h,~x_0-h,\ldots,~x_0+nh,~x_0-nh$, называется формулой Гаусса для интерполирования вперед, а формула

$G_{2n+1}(x_0+th)=f_0+f^{1}_{-1/2}t+f^{2}_0{t(t+1) \over 2!}+\ldots +f^{2n}_0{t(t^2-1)\ldots [t^2-(n-1)^2](t+n) \over (2n)!},\qquad (2)$

написанная по узлам $~x_0,~x_0-h,~x_0+h,\ldots ,~x_0-nh,~x_0+nh$, называется формулой Гаусса для интерполирования назад. В формулах (1) и (2) использованы конечные разности, определяемые следующим образом:

$f^{1}_{i+1/2}=f_{i+1}-f_i,\ f^m_i=f^{m-1}_{i+1/2}-f^{m-1}_{i-1/2}$

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.

Литература

• Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 1, 3 изд., М., 1966.
• Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.