Числа трибоначчи

Чи́сла трибона́ччи — последовательность целых чисел $\left\{t_n\right\}$, заданная с помощью линейного рекуррентного соотношения:

$t_0 = 0,\quad t_1 = 0,\quad t_2 = 1,\quad t_{n+3} = t_{n+2} + t_{n+1}+ t_{n}$.

Название является вариацией «чисел Фибоначчи» — с добавкой «три» (лат. tri-), обозначающей количество суммируемых чисел.

Последовательность чисел трибоначчи начинается так:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757, 4700770, 8646064, 15902591, 29249425, 53798080, 98950096, 181997601, 334745777, … (последовательность A000073 в OEIS)

Свойства

• При $\quad {n\to\infty}$ отношение соседних членов $t_{n+1}/t_{n}$ стремится к $C$ — действительному корню характеристического уравнения $x^3-x^2-x-1=0$. Значение $C$ можно выразить в радикалах:

$C=\frac{1}{3}\left[\left(19+3\sqrt{33}\right)^{1/3}+4 \left(19+3\sqrt{33}\right)^{-1/3}+1\right] = 1{,}839286755\ldots.$

Десятичные цифры $C$ образуют последовательность A058265 в OEIS.

• Любой член ряда трибоначчи можно определить из соотношения, аналогичного формуле Бине для чисел Фибоначчи.

$t_n = \left\lfloor 3 \, b \frac{\left(\frac{1}{3} \left( a_{+} + a_{-} + 1\right)\right)^n}{b^2-2b+4} \right\rfloor,$

где $a_{\pm} = \left(19 \pm 3 \sqrt{33}\right)^{1/3}$ и $b = \left(586 + 102 \sqrt{33}\right)^{1/3}$.

См. также

• Обобщения чисел Фибоначчи (англ.).
• Числа Фибоначчи

Ссылки

• Рекуррентное соотношение