Задача о четырёх кубах

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных параметров диофантова уравнения.

$x^3+y^3+z^3=w^3 \,$

Примеры решений

Наименьшие натуральные решения

$3^3+4^3+5^3=6^3$

$1^3+6^3+8^3=9^3$

$3^3+10^3+18^3=19^3$

$7^3+14^3+17^3=20^3$

$4^3+17^3+22^3=25^3$

$18^3+19^3+21^3=28^3$

$11^3+15^3+27^3=29^3$

$2^3+17^3+40^3=41^3$

$6^3+32^3+33^3=41^3$

$16^3+23^3+41^3=44^3$

Если разрешить отрицательные значения, то имеют место соотношения:

$-1^3+9^3+10^3=12^3$

$-2^3+9^3+15^3=16^3$

$-2^3+15^3+33^3=34^3$

$-2^3+41^3+86^3=89^3$

$-3^3+22^3+59^3=60^3$

Бесконечные серии решений

Морделл, 1956 г.

• $x=9a^4$

  $y=1-9a^3$

  $z=3a-9a^4$

  $w=1$

• $x=9a^3b+b^4$

  $y=9a^4$

  $z=-b^4$

  $w=9a^4+3ab^3$

• $x=9a^3b-b^4$

  $y=9a^4-3ab^3$

  $z=b^4$

  $w=9a^4$

• $x=9a^3b+b^4$

  $y=9a^3b-b^4$

  $z=9a^4-3ab^3$

  $w=9a^4+3ab^3$

Рамануджан

• $x=3a^2+5ab-5b^2$

  $y=4a^2-4ab+6b^2$

  $z=5a^2-5ab-3b^2$

  $w=6a^2-4ab+4b^2$

• $x=a^7-3a^4(1+b)+a(2+6b+3b^2)$

  $y=2a^6-3a^3(1+2b)+1+3b+3b^2$

  $z=a^6-1-3b-3b^2$

  $w=a^7-3a^4b+a(3b^2-1)$

Неизвестный автор, 1825 г.

• $x=a^9-3^6$

  $y=-a^9+3^5a^3+3^6$

  $z=3^3a^6+3^5a^3$

  $w=3^2a^7+3^4a^4+3^6a$

Д. Лемер, 1955 г.

• $x=3888a^{10}-135a^4$

  $y=-3888a^{10}-1296a^7-81a^4+3a$

  $z=3888a^9+648a^6-9a^3+1$

  $w=1$

В. Б. Лабковский

• $x=4b^2-11b-21$

  $y=3b^2+11b-28$

  $z=5b^2-7b+42$

  $w=6b^2-7b+35$

Эйлер и Бине

• $x=1-(a-3b)(a^2+3b^2)$

  $y=-1+(a+3b)(a^2+3b^2)$

  $z=-a-3b+(a^2+3b^2)^2$

  $w=-a+3b+(a^2+3b^2)^2$

Харди и Райт

• $x=a(a^3-2b^3)$

  $y=b(2a^3-b^3)$

  $z=b(a^3+b^3)$

  $w=a(a^3+b^3)$

• $x=a(a^3-b^3)$

  $y=b(a^3-b^3)$

  $z=b(2a^3+b^3)$

  $w=a(a^3+2b^3)$

Г. Александров, 1972 г.

• $x=7a^2+17ab-6b^2$

  $y=42a^2-17ab-b^2$

  $z=56a^2-35ab+9b^2$

  $w=63a^2-35ab+8b^2$

• $x=7a^2+17ab-17b^2$

  $y=17a^2-17ab-7b^2$

  $z=14a^2-20ab+20b^2$

  $w=20a^2-20ab+14b^2$

• $x=21a^2+23ab-19b^2$

  $y=19a^2-23ab-21b^2$

  $z=18a^2+4ab+28b^2$

  $w=28a^2+4ab+18b^2$

• $x=3a^2+41ab-37b^2$

  $y=37a^2-41ab-3b^2$

  $z=36a^2-68ab+46b^2$

  $w=46a^2-68ab+36b^2$

• $x=-4a^2+22ab-9b^2$

  $y=36a^2-22ab+b^2$

  $z=40a^2-40ab+12b^2$

  $w=48a^2-40ab+10b^2$

где $a$ и $b$ — любые целые числа.^[1]

Г. Александров вывел формулы, при помощи которых можно генерировать бесконечное количество выражений, подобных первому примеру Рамануджана, и путем реккурентных подстановок находить все варианты для заданного диапазона чисел:

• $x=x_0(x_0+y_0)a^2 \pm (w_0^2-z_0^2)ab-y_0(w_0-z_0)b^2$

  $y=y_0(x_0+y_0)a^2 \mp (w_0^2-z_0^2)ab-x_0(w_0-z_0)b^2$

  $z=z_0(x_0+y_0)a^2 \mp (y_0^2-x_0^2)ab+w_0(w_0-z_0)b^2$

  $w=w_0(x_0+y_0)a^2 \mp (y_0^2-x_0^2)ab+z_0(w_0-z_0)b^2$

где $x_0,y_0,z_0,w_0$ — одно из известных целочисленных решений (например, $x_0=4,y_0=17,z_0=22,w_0=25$). Сам же рамануджановский вариант получится, если $x_0=3 , y_0=5,z_0=4,w_0=6$. Формулы В.Б.Лабковского также являются частным случаем и получаются при $a=1,x_0=3,y_0=4,z_0=5,w_0=6$.

См. также

• Гипотеза Эйлера

Примечания

1. ↑ Во многих случаях числа $x, y, z, w \,$ имеют общие делители. Чтобы получить примитивную четверку чисел, достаточно сократить каждое из чисел на их наибольший общий делитель.

Литература

• Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
• В. Серпинский §15. Решение уравнений в рациональных числах // О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.
• Решения Лемера и Морделла
• Решение Лабковского (Задание №2)
• Сизый С. В. 20. Сравнения любой степени по простому модулю // Лекции по теории чисел: Учебное пособие для математических специальностей. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation—3rd Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.