Телеграфное уравнение

Телеграфные уравнения — пара линейных дифференциальных уравнений, описывающих распределение напряжения и тока в линии электропередачи по времени и расстоянию. Уравнения были составлены Оливером Хевисайдом, в 1880-х разработавшим модель линии электропередачи, описанную в этой статье. Теория Хевисайда применима к линиям электропередачи всех частот, включая высокочастотные линии (такие, как телеграфные и радиочастотные проводники), линии со звуковыми частотами (например, телефонные линии), низкочастотные линии (например, силовые линии) и постоянный ток.

Уравнения

Схематическое изображение элементарных компонентов линии электропередачи.

Телеграфные уравнения, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, могут быть сведены к частному случаю уравнений Максвелла. С точки зрения практики, предполагается, что проводники состоят из бесконечной цепи двухполюсников, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий участок линии:

• Удельное сопротивление проводников $R$ представлено в виде резистора (выражается в Омах на единицу длины).
• Удельная индуктивность $L$ (возникает из-за магнитного поля вокруг проводников, самоиндуктивности и т. д.) представлена в виде катушки (генри на единицу длины).
• Емкость $C$ между двумя проводниками представлена в виде конденсатора (фарад на единицу длины).
• Проводимость диэлектрического материала, разделяющего два проводника (изоляции) $G$ представлена в виде резистора между проводом под напряжением и нулевым проводом (сименс на единицу длины). В модели этот резистор имеет сопротивление $1/G$ Ом.

Для ясности повторим, что модель основана на бесконечной цепи элементов, показанных на картинке, и номиналы ее частей указаны на единицу длины. Также можно использовать $R'$, $L'$, $C '$ и $G '$, чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по координате.

Телеграфные уравнения выведены в той же форме в следующих источниках:: ^[1], ^[2], ^[3], ^[4], ^[5], ^[6], ^[7]

Передача без потерь

Когда элементы R и G малы, их значением можно пренебречь, линия электропередач при этом считается идеальной. В этом случае модель зависит только от элементов L и C, мы получаем пару дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, одна функция описывает распределение напряжения U вдоль линии, а другая — распределение тока I, обе функции зависят от координаты x и времени t.

$\frac{\partial}{\partial x} U(x,t) = -L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t)$

$\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) = -C \frac{\partial}{\partial t} U(x,t)$

Эти уравнения можно совместить для получения двух отдельных волновых уравнений:

$\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} U = \frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} U$

$\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I = \frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I$

В гармоническом случае (считаем, что волна синусоидальная $E=E_{o}\cdot e^{-j\omega ( \frac{x}{c} - t)}$, уравнения упрощаются до

$\frac{\partial^2U(x)}{\partial x^2}+ \omega^2 LC\cdot U(x)=0$

$\frac{\partial^2I(x)}{\partial x^2} + \omega^2 LC\cdot I(x)=0$

где $\omega$ — частота стационарной волны.

Если линяя является бесконечно длинной, или оканчивается характеристическим комплексным сопротивлением, уравнения показывают присутствие волны, распространяющейся со скоростью $v = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

(Заметим, что такая скорость распространения применима к волновым явлениям и не учитывает дрейфовую скорость электрона. Другими словами, электрический импульс распространяется со скоростью, очень близкой к скорости света, несмотря на то, что сами электроны перемещаются со скоростью всего несколько сантиметров в секунду.) Можно показать, что эта скорость в коаксиальной линии, сделанной из идеальных проводников, разделенных вакуумом, равна скорости света.

Линии без потерь и линии без искажений обсуждаются в ^[8] и ^[9]

Линия с потерями

Когда элементами R и G нельзя пренебречь, первоначальные дифференциальные уравнения, описывающие элементарный участок, принимают вид

$\frac{\partial}{\partial x} U(x,t) = -L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t) - R I(x,t)$

$\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) = -C \frac{\partial}{\partial t} U(x,t) - G U(x,t)$

Дифференцируя первое уравнение по x и второе по t, после проведения некоторых алгебраических преобразований, мы получим пару гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых содержит по одной неизвестной:

$\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} U = L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} U + (R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} U + G R U$

$\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I = L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I + (R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} I + G R I$

Заметим, что эти уравнения похожи на уравнение однородной волны с дополнительными условиями над U и I и их первыми производными. Дополнительные условия вызывают затухание и рассеяние сигнала в течение времени и с увеличением расстояния. Если потери линии малы (малые R и G = 0), сигнал будет затухать с увеличением расстояния как e^-αx, где α = R/2Z₀

Направление распространения сигнала

Волновые уравнения, описанные выше, учитывают, что распространение волны может быть прямым и обратным. Учитывая упрощение линии без потерь (полагая R=0 и G=0), решение может быть представлено в виде:

$U(x,t) \ = \ { f_1(\omega t - kx) + f_2(\omega t + kx)} \$

где:

$k = \omega \sqrt{LC} = {\omega \over v} \$

$k$ называется волновым числом и измеряется в радианах на метр,

ω — угловая частота (в радианах в секунду),

$f_1$ и $f_2$ могут быть любыми функциями, и

$v = { \frac{1}{\sqrt{LC}} } \$

скорость распространения волны (или фазовая скорость).

f₁ представляет волну, идущую в положительном направлении оси х (слева направо) f₂ представляет волну, идущую справа налево. Можно заметить, что мгновенное значение напряжения в любой точке х линии является суммой напряжений, вызванных обоими волнами.

Так как зависимость между током I и напряжением U описывается телеграфными уравнениями, можно записать

$I(x,t) \ = \ { f_1(\omega t-kx) \over Z_0 } - { f_2(\omega t+kx) \over Z_0 }$

где $Z_0$ — характеристический импеданс линии электропередачи, который для линии без потерь можно найти как

$Z_0 = \sqrt { {L \over C}}$

Ссылки

1. ↑ John D. Kraus Electromagnetics. — Third. — New York, NY: McGraw-Hill, 1984. — ISBN 0070354235, pp. 380—419
2. ↑ Wiliam H. Hayt Engineering Electromagnetics. — Fifth. — New York, NY: McGraw-Hill, 1989. — ISBN 0070274061, pp. 382—392
3. ↑ Stanley V. Marshall Electromagnetic Concepts & Applications. — Second. — New York, NY: Prentice-Hall, 1987. — ISBN 0132490048, pp. 359—378
4. ↑ Matthew N. O. Sadiku Elements of Electromagnetics. — First. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. — ISBN 993013846, pp. 497—505
5. ↑ Rodger F. Harrington Time-Harmonic Electromagnetic Fields. — First. — New York, NY: McGraw-Hill, 1961. — ISBN 0070267456, pp. 61-65
6. ↑ John J. Karakash Transmission Lines and Filter Networks. — First. — New York, NY: Macmillan, 1950., pp. 5-14
7. ↑ Georges Metzger Transmission Lines with Pulse Excitation. — First. — New York, NY: Academic Press, 1969., pp. 1-10
8. ↑ Matthew N. O. Sadiku Elements of Electromagnetics. — First. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. — ISBN 993013846, pp. 501—503
9. ↑ Stanley V. Marshall Electromagnetic Concepts & Applications. — Second. — New York, NY: Prentice-Hall, 1987. — ISBN 0132490048, pp. 369—372

См. также

• Волновое уравнение
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Клейна — Гордона — Фока