Экранированное уравнение Пуассона

В математике экранированное уравнение Пуассона — это дифференциальное уравнение в частных производных вида:

$\left[ \nabla^2 - \lambda^2 \right] u(\mathbf{r}) = - f(\mathbf{r}),$

где ${\nabla}^2$ — оператор Лапласа, $\lambda$ — константа, $f$ — произвольная функция позиции (известна как «функция источника»), а $u$ — искомая функция. Экранированное уравнение Пуассона часто используется в физике, включая теорию Юкавы о мезонном экранировании и экранировании электрического поля в плазме.

Когда $\lambda$ равна нулю, уравнение превращается в уравнение Пуассона. Следовательно, когда $\lambda$ очень мала, решение приближаеся к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое является суперпозицией $1/r$ функций, статистически взвешенной функцией источника $f$:

$u(\mathbf{r})_{(Poisson)} = \int d^3r' \frac{f(\mathbf{r}')}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.$

С другой стороны, когда $\lambda$ очень велика, $u$ приближается к значению $f/\lambda^2$, которое в свою очередь приближается к нулю, когда $\lambda$ уходит на бесконечность. Как мы увидим, решение для средних значений $\lambda$ ведёт себя как суперпозиция экранированных (или затухающих) $1/r$ функций, причём $\lambda$ будет являться силой экранирования.

Экранированное уравнение Пуассона может быть решено для общего $f$ с использованием функции Грина. Функция Грина $G$ определяется как

$\left[ \nabla^2 - \lambda^2 \right] G(\mathbf{r}) = - \delta^3(\mathbf{r}).$

Допустив, что $u$ и её производные пренебрежимо малы на больших $r$, мы можем выполнить преобразование Фурье в пространственных координатах:

$G(\mathbf{k}) = \int d^3r \; G(\mathbf{r}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$

где интеграл берётся по всему пространству. Затем можно показать, что

$\left[ k^2 + \lambda^2 \right] G(\mathbf{k}) = 1.$

Следовательно, функция Грина на $r$ даётся обратным преобразованием Фурье:

$G(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \; \int d^3\!k \; \frac{e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}}{k^2 + \lambda^2}.$

Этот интеграл может быть оценён с использованием сферических координат в $k$-пространстве. Интегрирование по угловым координатам несложно, и интеграл упрощается — теперь интегрировать нужно только по одной радиальной координате $k$:

$G(\mathbf{r}) = \frac{1}{2\pi^2 r} \; \int\limits_0^{\infty} dk \; \frac{k \, \sin kr }{k^2 + \lambda^2}.$

Этот интеграл может быть оценён путём интегрирования по контуру (теории вычетов). В итоге получаем:

$G(\mathbf{r}) = \frac{e^{- |\lambda| r}}{4\pi r}.$

Итоговое решение всей задачи:

$u(\mathbf{r}) = \int d^3r' G(\mathbf{r} - \mathbf{r}') f(\mathbf{r}') = \int d^3r' \frac{e^{- |\lambda| |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} f(\mathbf{r}').$

Как было указано выше, это суперпозиция экранированных $1/r$ функций, статистически взвешенных функцией источника $f$, причём $\lambda$ является коэффициентом экранирования. Экранированная $1/r$ функция часто появляется в физике как экранированный кулоновский потенциал, также известен и «потенциал Юкавы».

См. также

• Взаимодействие Юкавы