Формула Планка

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком. Для плотности энергии излучения $u(\omega, T)$:

$u(\omega,T) =\frac{ \omega^2}{\pi^2c^3}\frac{\hbar\omega}{ e^{\frac{\hbar\omega}{kT}}-1}.$

Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея — Джинса удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. Для вывода формулы Планк в 1900 году сделал предположение о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:

$\varepsilon = \hbar \omega.$

Коэффициент пропорциональности $\hbar$ впоследствии назвали постоянной Планка, $\hbar$ = 1.054 · 10⁻²⁷ эрг·с.

Вывод для абсолютно чёрного тела

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Излучение абсолютно чёрного тела

Файл:XkcdScience.svg

Формула в XKCD

Выражение для средней энергии колебания с частотой ω дается выражением:

$\overline{\varepsilon} = \frac{\hbar \omega} {\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}, \qquad\qquad (1)$

где $\hbar$ — постоянная Планка, $k$ — постоянная Больцмана.

Количество стоячих волн в трёхмерном пространстве равно:

$\mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3} \qquad\qquad (2)$

Переход к формулам Рэлея—Джинса.

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до $\infty$. При малых частотах (больших длинах волн), когда $\hbar \omega / kT \ll 1$ можно разложить экспоненту по $\hbar \omega / kT$. В результате получим, что $\mathrm{exp}(\hbar \omega / kT) -1 \approx 1 + \hbar \omega / kT -1 = \hbar \omega / kT$, тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея—Джинса.

$u(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3}$ и

$f(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2}$

Переход к закону Стефана — Больцмана.

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

$R= \int_0^{\infty} f(\omega,T)\mathrm{d} \omega = \int_0^{\infty} \frac{\hbar \omega^3}{4 \pi^2 c^2} \cdot \frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}$

Введём переменную $x = \hbar \omega / kT$, тогда $\omega = (kT/ \hbar)x$, $\mathrm{d} \omega = (kT/ \hbar) \mathrm{d}x$, получим

$R= \frac{\hbar}{4 \pi^2 c^2} \cdot \left( \frac{kT}{\hbar} \right)^4 \int_0^{\infty} \frac{x^3 \mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{e}^x -1}.$

Полученный интеграл имеет точное значение: $~\pi^4 / 15$, подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:

$R= \frac{\pi^2 k^4}{60 c^2 \hbar^3}T^4 = \sigma T^4$

Подстановка численных значений констант даёт значение для $\sigma = 5,6704 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м$^2$ $\cdot$ $K^4$), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по $\lambda$ и приравнять нулю (поиск экстремума):

$\frac{ \mathrm{d} \varphi(\lambda, T)}{\mathrm{d} \lambda} = \frac{ 4 \pi^2 \hbar c^2 \left\{ \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) - 5 \left[ \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1 \right] \right\} } {\lambda^6 \left[ \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1 \right]^2} =0$.

Значение $\lambda_m$, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим $\frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = x$, получится уравнение:

$~xe^x-5(e^x-1)=0$.

Решение такого уравнения даёт x=4.965. Следовательно $\frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = 4,965$, отсюда немедленно получается:

$T \lambda_m = \frac{2 \pi \hbar c}{4.965 k} = b$.

Численная подстановка констант даёт значение для b=0,0028999 К·м, совпадающее с экспериментом, а также удобную приближенную формулу $\lambda_{\max}T \approx 3000 \quad$ мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зеленой области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

Литература

• М. Планк. Об одном улучшении закона излучения Вина. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А.П. Виноградова. Стр.249 (http://dbserv.ihep.su/~elan/planckdisk/src/pl1900/rus.pdf )
• М. Планк. К теории распределения энергии излучения нормального спектра. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А.П. Виноградова. Стр.251 (http://dbserv.ihep.su/~elan/planckdisk/src/pl1900b/rus.pdf )
• Симулятор излучения абсолютно чёрного тела http://www.vias.org/simulations/simusoft_blackbody.html