Характер (теория чисел)

У этого термина существуют и другие значения, см. Характер.

Характер (или числовой характер, или характер Дирихле) по модулю $k$ (где $k\geqslant 2$ — целое число) — комплекснозначная периодическая функция $\chi(n)$ на множестве целых чисел со следующими свойствами:

1. $|\chi(n)|=1$, если $n$ взаимно просто с $k$, и $\chi(n)=0$ в противном случае.
2. $\chi(nm)=\chi(n)\chi(m)$ для любых $m$ и $n$ (мультипликативность).
3. $\chi(n+k)=\chi(n)$ для любых $n$ (периодичность).

Свойства

• Существует в точности $\varphi(k)$ различных характеров по модулю $k$, где $\varphi$ — функция Эйлера.
• Все характеры по модулю $k$ образуют группу порядка $\varphi(k)$, изоморфную мультипликативной подгруппе $\Z_k^*$ обратимых элементов кольца вычетов по модулю $k$.

Связанные определения

• Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с $k$, называется главным:

  $\chi_0(n)=\left\{\begin{array}{ll}1,&(n,\;k)=1;\\0,&(n,\;k)\neq 1.\end{array}\right.$

  • В группе характеров по модулю $k$ он играет роль единицы.

См. также

• L-функция Дирихле

Литература

• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.