Квадратичный закон взаимности

Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю простого числа.

Формулировка

Квадратичный закон взаимности Гаусса для символов Лежандра утвеждает, что

$\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^\frac{(p-1)(q-1)}4$

где р и q — различные нечётные простые числа.

Также справедливы следующие дополнения:

$\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2$     и     $\left(\frac 2p\right)=(-1)^\frac{p^2-1}8.$

Примеры

Простейшим проявлением закона взаимности является следующий факт, известный ещё Ферма: простыми делителями чисел $x^2+1$ могут быть лишь число 2 и простые числа, принадлежащие арифметической прогрессии $4k+1$. Другими словами, сравнение

$~x^2+1\equiv0\pmod{p}$

по простому модулю $p>2$ разрешимо в том и только в том случае, когда $~p \equiv 1\pmod4.$ С помощью символа Лежандра, последнее утверждение может быть выражено следующим образом:

$\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2.$

В общем случае, вопрос о разрешимости сравнения

$~x^2\equiv a \pmod{p}$

решается использованием мультипликативности символа Лежандра и квадратичного закона взаимности.

История

Формулировка квадратичного закона взаимности была известна ещё Эйлеру и Лежандру, однако первое доказательство было получено только Гауссом, который впоследствии дал несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях.

В дальнейшем были получены различные обобщения квадратичного закона взаимности.^[1]

См. также

• Символ Лежандра
• Символ Якоби
• Символ Кронекера — Якоби

Примечания

1. ↑ Айерленд К., Роузен М. - Классическое введение в современную теорию чисел.

Ссылки

• Прасолов В. В. Доказательство квадратичного закона взаимности по Золотареву // Математическое просвещение. — 2000. — Т. 4. — С. 140—144.