Плазменные волны в графене

Как и в обычных полупроводниках в графене электронно-дырочный газ можно рассматривать как плазму и соответственно ставить вопрос о том какие волны могут наблюдаться в твёрдом теле. Благодаря отличию закона дисперсии от параболического ожидается, что и свойства волн будут другими. Плазменные волны в ДЭГ в графене теоретически рассматривались в работе ^[1].

Вывод

Кинетическое уравнение для электронов в графене в бесстолкновительном приближении запишется в виде

$\frac{\partial f}{\partial t}+\mathbf{v}_p\frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}+e\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{r}}\frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}}=0.\qquad(4.1)$

Здесь функция распределения электронов $f=f(\mathbf{r},\mathbf{p},t)$ зависит от координат, импульсов и времени. $\phi=\phi(\mathbf{r},t)$ — потенциал создаваемый ДЭГ. Так как графен двумерная система, то вектор импульса имеет только две координаты $\mathbf{p}=(p_x,p_y)$. Также скорость электронов задаётся формулой $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}=v_F\frac{\mathbf{p}}{p}$, где $p=|\mathbf{p}|$.

Уравнение Пуассона, которое связывает концентрацию и распределение потенциала в графене, можно свести к уравнению

$\frac{V_g-\phi}{W_g}=\frac{4\pi e}{\varepsilon}\Sigma,\qquad(4.2)$

где $V_g$ — приложенное напряжение на затворе, которым можно управлять концентрацией, $W_g$ — толщина диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, а концентрация электронов $\Sigma$ задаётся по формуле

$\Sigma=\frac{g_sg_v}{(2\pi \hbar)^2}\int{d^2\mathbf{p}f},\qquad(4.3)$

которая аналогична выражению (3.3).

Совместное решение уравнений (4.1) и (4.2) в виде плоских даёт ответ на вопрос о плазменных волнах в графене.

Решение уравнения (4.1) ищется в виде

$f(\mathbf{r},\mathbf{p},t)=f_0+\delta f(p)e^{i(kx-\omega t)},\qquad(4.4)$

где к равновесной функции распределения (распределение Ферми — Дирака) добавляется малая поправка в виде плоской волны ($|\delta f|\ll f_0$). Потенциал также является малым возмущением (по сравнению с $V_g$)

$\phi(\mathbf{r},t)=\delta\phi e^{i(kx-\omega t)}.\qquad(4.5)$

При подстановки решений (4.4) и (4.5) в (4.1) и (4.2) приходим к уравнениям на $\delta f(p)$ и $\delta\phi$ с точностью до первого порядка малости

$\left(kv_F\frac{p_x}{p}-\omega\right)\delta f=-ek\frac{\partial f_0}{\partial p_x}\delta\phi,\qquad(4.6)$

$\delta\phi=-\frac{2eW_g}{\pi\varepsilon\hbar^2}\int{d^2\mathbf{p}f}.\qquad(4.7)$

Эти уравнения легко решаются если электронный газ вырожден, то есть $k_BT\ll E_F$. Для $\omega>v_Fk$ получим линейное дисперсионное соотношение для плазменных волн в графене

$\omega=\frac{kv_F}{\sqrt{1-\left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^2}}=ks,\qquad(4.7)$

где

$\alpha=\sqrt{\frac{4g_sg_ve^3W_gV_g}{\varepsilon\hbar^2v_F^2}}.\qquad(4.8)$.

Фазовая и групповая скорости равны

$s=\frac{v_F}{\sqrt{1-\left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^2}}.\qquad(4.9)$

Учёт конечных температур и, соответственно, термически возбуждённых дырок рассмотрено в работе ^[2].

См. также

• Графен

Ссылки

1. ↑ Ryzhii V. "Terahertz plasma waves in gated graphene heterostructures" Jpn. J. Appl. Phys. 45, L923 (2006) DOI:10.1143/JJAP.45.L923
2. ↑ Ryzhii V. et al. "Plasma waves in two-dimensional electron-hole system in gated graphene heterostructures" J. Appl. Phys. 101, 024509 (2007) DOI:10.1063/1.2426904