Дерево Штерна — Броко

Дерево Штерна — Броко

Дерево Штерна — Броко — способ расположения всех неотрицательных несократимых дробей в вершинах упорядоченного бесконечного двоичного дерева.

В первом варианте построения дерева Штерна — Броко дробь $\frac{1}{1}$ является корнем, а все прочие узлы заполняются по следующему алгоритму: каждая вершина $\frac{m}{n}$ имеет двух потомков: левого $\frac{m}{m+n}$ и правого $\frac{m+n}{n}$.

Во втором варианте построения в каждом узле дерева Штерна — Броко (называемого в этом случае также деревом Фарея) стоит медианта $\frac{m+m'}{n+n'}$ дробей $\frac{m}{n}$ и $\frac{m'}{n'}$, стоящих в ближайших к этому узлу левом и правом верхних узлах. Начальный кусок дерева Штерна — Броко в этом случае выглядит так:

История

В книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Паташника Конкретная математика открытие «дерева Штерна — Броко» связывается с именами Морица Штерна (1858) и Ахилла Броко (1860). Однако в действительности это построение было известно ещё древнегреческим математикам. Оно описано под именем «порождения всех отношений из отношения равенства как из матери и корня» в двух математических обзорах II в. н. э., принадлежащих Никомаху Геразскому и Теону Смирнскому. Теон сообщает, что эта конструкция была известна Эратосфену Киренскому — знаменитому учёному, жившему в III в. до н. э.

Свойства

• Все дроби в дереве Штерна — Броко несократимы;
• Каждая несократимая дробь появляется в дереве ровно один раз.

Эти свойства легко доказываются, если заметить, что каждому шагу по дереву в направлении к корню соответствует элементарный шаг вычитания меньшего числа из большего в алгоритме Евклида для поиска наибольшего общего делителя.

Система счисления Штерна — Броко

Можно воспользоваться символами L и R для идентификации левой и правой ветви при продвижении вниз по дереву от корня, дроби 1/1, к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов «R» и «L» (дроби 1/1 соответствует пустая строка). Такое представление положительных рациональных чисел назовём системой счисления Штерна — Броко. К примеру, обозначение LRRL соответствует дроби 5/7.

Ссылки

• The Stern — Brocot or Farey Tree(англ.)
• Кноп К. Недвоичная система // Домашний компьютер. — 2001. — № 8.
• Онлайн-демонстратор приближения рациональных чисел при помощи дерева Штерна-Броко

Литература

• Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней. М.: Мир, 2006. С. 105—108.
• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 2006.
• Щетников А. И. Алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отношения равенства и идеальные числа Платона. ΣΧΟΛΗ, 2 (2008), 55—74.
• Brocot A. Calcul des rouages par approximation, nouvelle méthode. Revue Chonométrique, 3 (1861), 186—194.
• Stern M. Über eine zahlentheoretische Funktion. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 55 (1858), 193—220.

См. также

• Ряд Фарея
• Цепная дробь
• Подходящая дробь
• Система счисления
• Алгоритм Евклида