Теорема Сильвестра

Теорема Сильвестра:

На плоскости дано конечное число точек, причем такое, что любая прямая, проходящая через две из данных точек, содержит еще одну данную точку. Тогда все данные точки лежат на одной прямой.

О доказательстве

Теорема Сильвестра знаменита тем, что её довольно сложно доказать напрямую и при этом простое доказательство состоит в переходе к её двойственной переформулировке:

На плоскости дано конечное число прямых, причем такое, что через любую точку пересечения двух данных прямых, проходит еще одна из данных прямых. Тогда все данные прямые проходят через одну точку.

Если одна из данных прямых, скажем $\ell$, не проходит через одну из точек пересечения, скажем $p$, то легко найти другую из точек пересечений, скажем $p'$ на меньшем расстоянии до $\ell$ чем $p$, но при этом не лежащей на $\ell$. Поскольку число пересечений конечно, приходим к противоречию.