Скин-эффект

Скин-эффект (поверхностный эффект) — эффект уменьшения амплитуды электромагнитных волн по мере их проникновения вглубь проводящей среды. В результате этого эффекта, например, переменный ток высокой частоты при протекании по проводнику распределяется неравномерно по сечению, а преимущественно в поверхностном слое.

Объяснение скин-эффекта

Физическая картина возникновения

Физическая картина возникновения скин-эффекта.

Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому течёт ток. Вокруг проводника с током имеется магнитное поле, силовые линии которого являются концентрическими окружностями с центром на оси проводника. В результате увеличения силы тока возрастает индукция магнитного поля, а форма силовых линий при этом остаётся прежней. Поэтому в каждой точке внутри проводника производная $\frac{\partial B}{\partial t}$ направлена по касательной к линии индукции магнитного поля и, следовательно, линии $\frac{\partial B}{\partial t}$ также являются окружностями, совпадающими с линиями индукции магнитного поля. Изменяющееся магнитное поле по закону электромагнитной индукции

$\operatorname{rot} \, \mathbf{E} = - \frac{\partial B}{\partial t}$

создаёт электрическое индукционное поле, силовые линии которого представляют замкнутые кривые вокруг линии индукции магнитного поля. Вектор напряжённости индукционного поля в более близких к оси проводника областях направлен противоположно вектору напряжённости электрического поля, создающего ток, а в более дальних — совпадает с ним. В результате плотность тока уменьшается в приосевых областях и увеличивается вблизи поверхности проводника, то есть возникает скин-эффект.

Уравнение, описывающее скин-эффект

Исходим из уравнения Максвелла,

$\operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu \mathbf{j}$

и выражения для $\mathbf{j}$ по закону Ома:

$\mathbf{j} = \gamma \mathbf{E}$

Дифференцируя обе части полученного уравнения по времени, находим:

$\operatorname{rot} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \mu \gamma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

$- \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{E} = \mu \gamma \frac{\partial E}{\partial t}$.

Поскольку

$\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{E} = \operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{E} - \nabla^2 \mathbf{E}$ и $\operatorname{div} \mathbf{E} = 0$

окончательно получаем:

$\nabla^2 \mathbf{E} = \mu \gamma \frac{\partial E}{\partial t}$.

Скин-эффект в бесконечном проводнике с плоской границей.

Для упрощения решения предположим, что ток течёт по однородному бесконечному проводнику, занимающему полупространство y>0 вдоль оси X. Поверхностью проводника является плоскость Y=0. Таким образом,

$j_x = j_x (y,t),\qquad j_y = j_z = 0$,

$E_x = E_x (y,t),\qquad E_y = E_z = 0$.

Тогда

$\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} = \mu \gamma \frac{\partial E_x}{\partial t}$.

В этом уравнении все величины гармонически зависят от t, и можно положить:

$E_x (y,t) = E_0 (y) e^{i \omega t}$.

Подставим это в наше уравнение и получим уравнение для $E_0 (y)$:

$\frac{d^2 E_0}{dy^2} = i \gamma \mu \omega E_0$.

Общее решение этого уравнения таково:

$E_0 = A_1 e^{- k y} + A_2 e^{k y}$.

Учитывая, что $k = \sqrt{i \gamma \mu \omega} = \alpha (1 + i)$, где $\alpha = \sqrt{ \frac{\gamma \mu \omega}{2} }$, находим

$E_0 = A_1 e^{- \alpha y}e^{-i \alpha y} + A_2 e^{\alpha y}e^{i \alpha y}$.

При удалении от поверхности проводника ($y \rightarrow \infty$) второе слагаемое неограниченно возрастает, что является физически недопустимой ситуацией. Следовательно, $A_2 = 0$ и в качестве физически приемлемого решения остаётся только первое слагаемое. Тогда решение задачии имеет вид:

$E_0 = A_1 e^{- \alpha y} e^{i(\omega t - \alpha y)}$.

Взяв действительную часть от этого выражения и перейдя с помощью соотношения $\mathbf{j} = \gamma \mathbf{E}$ к плотности тока, получим

$j_x (y,t) = \gamma A_1 e^{- \alpha y} \cos{(\omega t - \alpha y)}$.

Принимая во внимание, что $j_x (0,0) = j_0$ — амплитуда плотности тока на поверхности проводника, приходим к следующему распределению объёмной плотности тока в проводнике:

$j_x (y,t) = j_0 e^{- \alpha y} \cos{(\omega t - \alpha y)}$.

Толщина скин-слоя

Объёмная плотность тока максимальна у поверхности проводника. При удалении от поверхности она убывает и на глубине $\Delta$ становится меньше в е раз. Поэтому практически весь ток сосредоточен в слое толщиной $\Delta$. Она называется толщиной скин-слоя и на основании полученного выше равна

$\Delta = \sqrt{\frac{2}{\gamma \mu \omega}}$.

Очевидно, что при достаточно большой частоте $\omega$ толщина скин-слоя может быть очень малой. В качестве примера приведём зависимость глубины скин-слоя от частоты для медного проводника:

Частота	$\Delta$
60 Гц	8,57 мм
10 кГц	0,66 мм
100 кГц	0,21 мм
1 МГц	66 мкм
10 МГц	21 мкм

Для расчёта толщины скин-слоя в металле (приближённо) можно использовать следующие эмпирические формулы:

$\Delta=c\sqrt{2\frac{\varepsilon_0}{\omega\mu_m}\rho}$.

Здесь $\varepsilon_0$ = 8,85419·10⁻¹² Ф/м — абсолютная диэлектрическая проницаемость, $\rho$ — удельное сопротивление, c — скорость света, $\mu_m$ — относительная магнитная проницаемость (близка к единице для пара- и диамагнетиков — меди, серебра, и т. п.), $\omega=2\pi \cdot f$. Все величины выражены в системе СИ.

$\Delta=503\sqrt{\frac{\rho}{\mu_m f}}$,

$\rho$ — удельное сопротивление, $\mu_m$ — относительная магнитная проницаемость, $f$ — частота.

Аномальный скин-эффект

Изложенная теория справедлива лишь при условии, что толщина скин-слоя много больше средней длины свободного пробега электронов, так как мы предполагаем, что при своём движении электрон непрерывно теряет энергию на преодоление омического сопротивления проводника, в результате чего происходит выделение джоулевой теплоты. Такое соотношение справедливо в весьма широких пределах, однако при очень низкой температуре ситуация резко меняется: проводимость сильно повышается, а следовательно, увеличивается длина свободного пробега и уменьшается толщина скин-слоя. При этих условиях механизм, приводящий к образованию скин-эффекта, уже не действует. Эффективная толщина слоя, в котором сосредоточен ток, изменяется. Такое явление называется аномальным скин-эффектом.

Применение

На скин-эффекте основано действие взрывомагнитных генераторов (ВМГ), взрывомагнитных генераторов частоты (ВМГЧ) и в частности ударно-волновых излучателей (УВИ).

Благодаря скин-эффекту на высоких частотах теплота выделяется преимущественно в поверхностном слое. Это позволяет раскалить проводник в тонком поверхностном слое без существенного изменения температуры внутренних областей. Данное явление используется в важном, с промышленной точки зрения, методе поверхностной закалки металлов.

Борьба с эффектом

С увеличением частоты переменного тока скин-эффект проявляется всё более явно, что заставляет учитывать его при конструировании и расчётах электрических схем, работающих с переменным и импульсным током. Например, вместо обычных медных проводов могут применяться медные провода, покрытые тонким слоем серебра. Серебро обладает наибольшей удельной проводимостью среди всех металлов, и тонкий его слой, в котором благодаря скин-эффекту и протекает бо́льшая часть тока, оказывает сильное влияние на активное сопротивление проводника. Скин-эффект значительно влияет на характеристики колебательных контуров, такие как добротность. В связи с тем, что ток высокой частоты течёт по тонкому поверхностному слою проводника, активное сопротивление проводника значительно возрастает, что приводит к быстрому затуханию колебаний высокой частоты. Для борьбы со скин-эффектом применяют проводники различного сечения: плоские (в виде лент), трубчатые (полые внутри), наносят на поверхность проводника слой металла с более низким удельным сопротивлением. Так, в ВЧ аппаратуре используют посеребрённые медные контуры, в высоковольтных линиях электропередач применяют провод в медной либо алюминиевой оболочке со стальным сердечником, в высокомощных генераторах переменного тока обмотка изготавливается из трубок, через которые пропускается жидкий водород для охлаждения. Также с целью подавления скин-эффекта используют систему из нескольких переплетённых и изолированных проводов — литцендрат. Все указанные методы борьбы со скин-эффектом малоэффективны для сверхвысокочастотного оборудования. В этом случае применяют колебательные контуры особой формы: объёмные резонаторы и специфические линии передач — волноводы.

Литература

• А. Н. Матвеев. Электричество и магнетизм. (Первое изд. М.: Высшая школа, 1983. 463с.)