Векторный потенциал

У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал.

Эта статья — о математическом термине. О физическом см. векторный потенциал электромагнитного поля.

В векторном анализе векторный потенциал — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого равен заданному векторному полю.

Формально, если v — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A такое, что

$\mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}.$

Если A является векторным потенциалом для поля v, то из тождества

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$

(дивергенция ротора равна нулю) следует

$\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0,$

то есть v должно быть соленоидальным векторным полем.

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

Теорема

Пусть

$\mathbf{v} : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$

— дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле. Предположим, что v(x) убывает достаточно быстро при ||x||→∞. Определим

$\mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \nabla \times \int\limits_{\mathbb R^3} \frac{ \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d\mathbf{y}.$

Тогда A является векторным потенциалом для v, то есть

$\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}.$

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца, согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.

Неоднозначность выбора потенциала

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A является векторным потенциалом для v, также им является

$\mathbf{A} + \nabla m$

где m — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки.

Векторный потенциал в физике

Основная статья: Векторный потенциал электромагнитного поля

Уравнения Максвелла

Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал $\mathbf A$ вводится таким образом, что

$\mu_0 \mathbf H = \mathbf B = \operatorname{rot} \mathbf A$ (в системе СИ).

При этом уравнение $\operatorname{div} \mathbf B = 0$ удовлетворяется автоматически.

Подстановка выражения для $\mathbf A$ в

$\operatorname{rot}\mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}$

приводит к уравнению

$\operatorname{rot} \left( \mathbf E + \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right) = 0$,

согласно которому, так же как и в электростатике вводится скалярный потенциал. Однако теперь в $\mathbf E$ вносят вклад и скалярный и векторный потенциал:

$\mathbf E = - \operatorname{grad}\; \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}$

Из уравнения $\operatorname{rot} \mathbf H = \mathbf j + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t}$ следует

$\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \mu_0 \mathbf j + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(-\operatorname{grad}\;\varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \right)$

Используя равенство $\operatorname{rot}\; \operatorname{rot} \mathbf A = \operatorname{grad}\;\operatorname{div}\mathbf A - \nabla^2\mathbf A$, уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде

$\Delta \mathbf A - \operatorname{grad} \left(\operatorname{div}\mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf j$

$\Delta \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \mathbf A = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$

Физический смысл векторного потенциала

Подробнее по этой теме см.: Векторный потенциал электромагнитного поля#Физический смысл векторного потенциала.

В классической электродинамике векторный потенциал достаточно часто трактовался как величина, не имеющая непосредственного физического смысла, формально вводимая лишь для удобства выкладок, хотя уже в структуре действия для классической электродинамики векторный потенциал входит таким прямым образом, что это наводит на мысль о его фундаментальном характере.

В квантовой теории это имеет прозрачный физический смысл прямого влияния векторного потенциала на фазу волновой функции движущейся в магнитном поле частицы. Более того, удалось поставить квантовые эксперименты, показавшие, что векторный потенциал доступен достаточно непосредственному в некотором смысле измерению (по крайней мере, речь идёт о том, что векторный потенциал может влиять наблюдаемым измеримым образом на квантовую частицу даже тогда, когда напряженность магнитного поля в областях, доступных частице, всюду равна нулю, то есть магнитное поле не может оказывать воздействие на частицу через напряженность, а лишь прямо — через векторный потенциал; см. Эффект Ааронова — Бома).

Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии, векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса. Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.

См. также

• Скалярный потенциал
• Основная теорема векторного анализа
• Векторный потенциал электромагнитного поля
• Вектор Герца
• Калибровка векторного потенциала

Примечания