Ток вероятности

В квантовой механике, ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.

Определение

Ток вероятности $\vec j$ определяется как

$\vec j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\vec\nabla\Psi)$

и удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0$

с плотностью вероятноти $\rho$, заданной

$\rho = |\Psi|^2 \,$.

Уравнение непрерывности эквивалентно следующему интегральному уравнению:

$\frac{\partial}{\partial t} \int\limits_V |\Psi|^2 dV + \int\limits_S \vec j \cdot \vec {dA} = 0$

где $V$ — объём и $S$ − граница объёма $V$. Это — закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

В частности, если $\Psi$ — волновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах $V$, когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема $V$.

В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в $V$ равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из $V$.

Примеры

Плоская волна

Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне

$\Psi = A e^{i\vec k \cdot \vec r} e^{i \omega t}$

запишется в виде

$\vec j = \frac{\hbar}{2mi} |A|^2 \left( e^{-i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{i\vec k \cdot \vec r} - e^{i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{-i\vec k \cdot \vec r} \right) = |A|^2 \frac{\hbar \vec k}{m}.$

Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы:

$\vec v = \frac{\vec p}{m} = \frac{\hbar \vec k}{m}$.

Отметьте, что ток вероятности является отличным от нуля несмотря на то, что плоские волны это стационарные состояния и следовательно

$\frac{d|\Psi|^2}{dt} = 0\,$

везде. Это демонстрирует, что частица может двигаться, даже если его пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.

Частица в ящике

Для одномерного ящика с бесконечными стенками длинной $L$ ($0 < x < L$), волновые функции запишутся в виде

$\Psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi}{L} x \right)$

и ноль справа и слева от ямы. Тогда ток запишется в виде

$j_n = \frac{\hbar}{2mi}\left( \Psi_n^* \frac{\partial \Psi_n}{\partial x} - \Psi_n \frac{\partial \Psi_n^*}{\partial x} \right) = 0$

поскольку $\Psi_n = \Psi_n^*.$

Вывод уравнения непрерывности

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что $\Psi$ - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных $x$, $y$, и $z$). Тогда

$P = \int\limits_V |\Psi|^2 dV \,$

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V. Производная по времени запишется в виде

$\frac{dP}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int\limits_V |\Psi|^2 dV = \int\limits_V \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) dV$

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма $V$ не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V\Psi$

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от $\Psi\,$:

$\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{i \hbar}{2m} \nabla^2 \Psi - \frac{i}{\hbar} V \Psi$

Результат подстановки в предыдущее уравнение для $\frac{dP}{dt}$ даёт

$\frac{dP}{dt} = - \int\limits_V \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right) dV$.

Теперь после перехода к дивергенции

$\nabla \cdot \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) = \vec \nabla \Psi^* \cdot \vec \nabla \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \vec \nabla \Psi \cdot \vec \nabla \Psi^* - \Psi \vec \nabla^2 \Psi^*$

и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:

$\frac{dP}{dt} = - \int\limits_V \vec \nabla \cdot \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) dV$

Если теперь вспомним выражение для $P$ и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть $\vec j$ тогда запишем выражение

$\int\limits_V \left( \frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j \right) dV = 0$

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов $V$, и интеграл можно опустить:

$\frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0.$