Конформно евклидово многообразие

В дифференциальной геометрии, конформно евклидовым называется многообразие $\mathfrak{M}$, в котором метрика $g_{ij}$ конформно эквивалентна метрике плоского пространства в некоторой системе координат. Для положительно определённой метрики под плоским пространством понимается обычное евклидово пространство:

$g_{ij} = \Omega^2 \delta_{ij}$

где $\Omega(x)$ — некоторая гладкая функция $\Omega\colon \mathfrak{M} \rightarrow \mathbb{R}$, $\delta_{ij}$ — дельта Кронекера.

Если метрика не является положительно определённой, то есть многообразие псевдориманово, под плоским пространством понимается пространство Минковского с метрикой Минковского $\eta_{ij}$:

$g_{ij} = \Omega^2 \eta_{ij}$

Для многообразий размерности больше трёх необходимым и достаточным условием конформной евклидовости является равенство нулю тензора Вейля. Для размерностей 3 и меньше это условие необходимо, но не достаточно. Достаточным условием является равенство нулю тензора Коттона.

См. также

• Конформное отображение
• Дифференциальная геометрия и топология
• Тензор Вейля