Эллипсоид вращения

Сплюснутый сфероид

Вытянутый сфероид

Эллипсо́ид враще́ния (сферо́ид) — это фигура вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

Термин сфероид для обозначения двух вариантов эллипсоида вращения ввел Архимед: «... мы полагаем следующее: если эллипс при сохранении неподвижной большей оси поворачивается, возвращаясь в исходное положение, то охватываемая им фигура будет называться вытянутым сфероидом (παραμακες σφαιροιδες). Если эллипс поворачивается при сохранении в неподвижности малой оси и возвращается назад, то охватываемая им фигура будет называться сплюснутым сфероидом (επιπλατυ σφαιροιδες).» ^[1]

Эллипсоид вращения является частным случаем эллипсоида, две из трёх полуосей которого имеют одинаковую длину ($a_x=a_y=a$):

$\frac{x^2}{{a_x}^2}+\frac{y^2}{{a_y}^2}+\frac{z^2}{b^2}=\frac{\rho^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1.\,\!$

В частном случае, когда все три полуоси равны, исходный эллипс представляет собой окружность, а эллипсоид вращения вырождается в сферу.

Вытянутый эллипсоид вращения

Вытянутый эллипсоид вращения можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Зеркало в виде вытянутого эллипсоида вращения обладает следующим свойством: лучи света, исходящие из одного из фокусов эллипсоида, после отражения соберутся в другом фокусе.

Сплюснутый эллипсоид вращения

Сплюснутый эллипсоид вращения можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до ближайшей и до наиболее удалённой точки заданной окружности постоянна.

Основные формулы

• Площадь поверхности:

$2\pi a\left(a + \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\ln\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right)\right)$ (для сжатого)

$2\pi a\left(a + \frac{b^2}{\sqrt{b^2-a^2}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right)\right)$ (для вытянутого)

• Объём:

$\frac{4}{3}\pi a^2 b.\,\!$

Здесь $o\!\varepsilon\,\!$ - угловой эксцентриситет:

$o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{b}{a}\right)=2\arctan\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right)\quad\mathrm{},\,\!$ (сжатый)

$=\arccos\left(\frac{a}{b}\right)=2\arctan\left(\sqrt{\frac{b-a}{b+a}}\right)\quad\mathrm{};\,\!$ (вытянутый)

(sin(oε) часто выражается как эксцентриситет, "e")

Примеры

Форма Земли — в хорошем приближении представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения с ${\frac{a}{b}\approx{\frac{301}{299}}}$.

Применение

Оптическая схема телескопа Грегори. Малое зеркало имеет форму вытянутого эллипсоида вращения

Радиотелескоп РТ-70, исполненный по системе антенны Грегори

Свойство вытянутого эллипсоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Грегори и в антеннах Грегори.

Примечания

1. ↑ L. Russo The forgotten revolution. — Springer, Berlin, 2004. — P. 180.