Квантование Дирака

Квантова́ние Дира́ка — эвристический аргумент, показывающий, что однозначность предсказаний квантовой механики с электрическими зарядами может быть сохранена в теории, включающей магнитные монополи, лишь при условии совместного квантования магнитного и электрического зарядов.

Вывод условия квантования Дирака для магнитного монополя

Поле, создаваемое магнитным монополем, может быть описано вектор-потенциалом А_μ, если допустить существование скачка A_μ на некоторой (произвольной) поверхности S, проходящей через магнитный монополь и делящей пространство на две связные части ^[1]. При этом напряжённость поля непрерывна на поверхности S всюду, кроме точки расположения магнитного монополя, а сама поверхность может быть произвольным образом деформирована с помощью калибровочных преобразований. Циркуляция скачка A по любому контуру, лежащему на S и охватывающему магнитный монополь, равна магнитному потоку, исходящему из магнитного монополя, то есть (согласно теореме Гаусса) заряду g. Контурный интеграл от 4-вектора A даёт вклад в фазу φ волновой функции электрический заряженной частицы, и скачок φ , соответствующий скачку А_μ на поверхности S, равен $\Delta \phi = eg/\hbar c$. При выполнении условия Дирака $\Delta \phi = 2 \pi n$, так что волновая функция непрерывна во всём пространстве. К тому же скачок А_μ не даёт вклада в напряжённость магнитного поля, которая определяется законом Кулона, поэтому поверхность S ненаблюдаема. В качестве этой поверхности можно выбрать уходящий на бесконечность конус, в вершине которого находится магнитный монополь, а угол при вершине сколь угодно мал («струна», пли «нить», Дирака).

Можно показать, что эффект магнитного монополя сводится к замене $l(l+1)$ на $l(l+1) - 1/4n^2$ (n — целое число в условии Дирака) в центробежном потенциале радиального уравнения Шрёдингера ^[2], при этом орбит, угловой момент $l$ может принимать значения

$l_n = \frac {1}{2}|n|; \frac {1}{2}|n|+1; \frac {1}{2}|n|+2;...$.

$l_1 = 1/2; 3/2; 5/2;...$ при $n = 1$

$l_2 = 1; 2; 3;...$ при $n = 2$

$l_3 = 3/2; 5/2; 7/2;...$ при $n = 3$

$l_4 = 2; 3; 4;...$ при $n = 4$.

Заметим, что при нечётном n система из двух бесспиновых частиц благодаря ненулевой дивергенции магнитного поля обладает полуцелым угловым моментом. Таким образом, из двух бозонов с ненулевыми полными злектрическими и магнитными зарядами образуется дион, подчиняющийся статистике Ферми — Дирака. Аналогично связанное состояние бозона и фермиона может быть бозоном.

Примечания

1. ↑ Янг и Ву Physical Review D 13, 3233-3236 (1976)
2. ↑ И. Е. Тамм "Обобщенные шаровые функции и волновые функции электрона в поле магнитного полюса" Z. Phys., 1931, 71, 141. Перевод А. Е. Шабада.(из сборника Тамм И. Е.. Собрание научных трудов(Том 1), М., "Наука", 1975).