- Лемма Бернсайда
-
В теории групп лемма Бёрнсайда связывает количество орбит в подгруппе симметрической группы с цикловой структурой элементов этой подгруппы. Существует несколько вариантов леммы: упрощенный, весовой, ограниченный и т. д. Лемма Бёрнсайда лежит в основе доказательства теоремы Редфилда — Пойа.
Содержание
Упрощенный вид
Пусть G — конечная группа, действующая на множестве X. Для любого элемента g из G будем обозначать через Xg множество элементов X, оставляемых на месте g. Лемма Бёрнсайда даёт формулу числа орбит группы G, обозначаемого | X / G | :
Число орбит (натуральное число или бесконечность) равно среднему количеству точек, оставляемых на месте элементом из G.
Доказательство
Доказательство основано на подсчёте числа элементов одного множества двумя способами: